Alene
Während er oft als Konstrukteur mechanischer Geräte angesehen wird, leistete Archimedes auch Beiträge zur Mathematik. Plutarch schrieb: "Er hat seine ganze Zuneigung und seinen Ehrgeiz in diese reineren Spekulationen gelegt, in denen es keinen Hinweis auf die vulgären Bedürfnisse des Lebens geben kann."
Archimedes verwendete die Methode der Erschöpfung, um den Wert von π anzunähern.
Archimedes war in der Lage, infinitesimale Zahlen auf eine Weise zu verwenden, die der modernen Integralrechnung ähnelt. Durch den Widerspruchsbeweis (reductio ad absurdum) konnte er Antworten auf Probleme beliebiger Genauigkeit geben und dabei die Grenzen angeben, innerhalb derer die Antwort lag. Diese Technik ist als Erschöpfungsmethode bekannt, und er wandte sie an, um den Wert von π (pi) anzunähern. Er tat dies, indem er ein größeres Polygon außerhalb eines Kreises und ein kleineres Polygon innerhalb des Kreises zeichnete. Wenn die Anzahl der Seiten des Polygons zunimmt, wird es eine genauere Annäherung an einen Kreis. Wenn die Polygone jeweils 96 Seiten hatten, berechnete er die Längen ihrer Seiten und zeigte, dass der Wert von π zwischen 31⁄7 (etwa 3,1429) und 310⁄71 (etwa 3,1408) lag, was mit seinem tatsächlichen Wert von etwa 3,1416 übereinstimmt.Er bewies auch, dass die Fläche eines Kreises gleich π multipliziert mit dem Quadrat des Kreisradius ist. In On the Sphere and Cylinder postuliert Archimedes, dass jede Größe, wenn sie oft genug zu sich selbst addiert wird, jede gegebene Größe überschreitet. Dies ist die archimedische Eigenschaft der reellen Zahlen.
In der Messung eines Kreises gibt Archimedes den Wert der Quadratwurzel aus 3 an, der zwischen 265⁄153 (ungefähr 1,7320261) und 1351⁄780 (ungefähr 1,7320512) liegt. Der tatsächliche Wert beträgt ungefähr 1,7320508, was eine sehr genaue Schätzung darstellt. Er führte dieses Ergebnis ein, ohne die Methode zu erklären, mit der es erhalten wurde. Dieser Aspekt des Werks von Archimedes veranlasste John Wallis zu der Bemerkung, dass er es war: „Es war gewissermaßen ein bestimmtes Ziel, die Spuren seiner Ermittlungen zu verwischen, als ob er der Nachwelt das Geheimnis seiner Untersuchungsmethode missgönnt hätte, während er es erpressen wollte von ihnen stimmen seinen Ergebnissen zu."
Wie Archimedes bewiesen hat, beträgt die Fläche des Parabelsegments in der oberen Abbildung 4/3 der des einbeschriebenen Dreiecks in der unteren Abbildung.
In Die Quadratur der Parabel bewies Archimedes, dass die von einer Parabel und einer Geraden eingeschlossene Fläche das 4⁄3-fache der Fläche eines entsprechenden eingeschriebenen Dreiecks beträgt, wie in der Abbildung rechts gezeigt. Die Lösung des Problems drückte er als unendliche geometrische Reihe mit dem gemeinsamen Verhältnis 1⁄4 aus:
Wenn der erste Term in dieser Reihe die Fläche des Dreiecks ist, dann ist der zweite die Summe der Flächen zweier Dreiecke, deren Basen die zwei kleinere Sekantenlinien usw. Dieser Beweis verwendet eine Variation der Reihe 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + · · ·, die sich zu 1⁄3 summiert.
In The Sand Reckoner machte sich Archimedes daran, die Anzahl der Sandkörner zu berechnen, die das Universum enthalten könnte. Damit stellte er die Vorstellung in Frage, dass die Anzahl der Sandkörner zu groß sei, um sie zu zählen. Er schrieb: "Es gibt einige, König Gelo (Gelo II., Sohn von Hiero II), die denken, dass die Zahl des Sandes unendlich ist; und ich meine mit dem Sand nicht nur das, was es um Syrakus und den Rest gibt Sizilien, sondern auch das, was in jeder bewohnten oder unbewohnten Region zu finden ist." Um das Problem zu lösen, entwickelte Archimedes ein Zählsystem, das auf den Myriaden basiert. Das Wort stammt aus dem Griechischen μυριάς murias für die Zahl 10.000. Er schlug ein Zahlensystem vor, das Potenzen von Myriaden von Myriaden (100 Millionen) verwendet, und kam zu dem Schluss, dass die Anzahl der Sandkörner, die erforderlich sind, um das Universum zu füllen, 8 Vigintillionen betragen würde.oder 8×1063.