Stephon
Die Idee der Divergenz und curl
Vektorfelder
Wir eine Vektorwertfunktion F denken können: R2 → R2 als Darstellung Fluidfluß in zwei Dimensionen, so dass F (x, y) an der Stelle , die Geschwindigkeit eines Fluids ergibt (x, y). In diesem Fall können wir F(x,y) das Geschwindigkeitsfeld des Fluids nennen. Allgemeiner bezeichnen wir eine Funktion wie F(x,y) als zweidimensionales Vektorfeld. Sie können mehr darüber lesen, wie wir die Fluidströmung visualisieren können, indem wir die Geschwindigkeit F(x,y) als Vektor am Punkt (x,y) auftragen.
Dasselbe können wir für eine dreidimensionale Flüssigkeitsströmung mit Geschwindigkeit tun, die durch eine Funktion F : R3 → R3 dargestellt wird. In diesem Fall ist F(x,y,z) die Geschwindigkeit der Flüssigkeit am Punkt (x,y,z), und wir können sie uns als Vektor F(x,y,z) an dem Punkt ( x,y,z). Wir bezeichnen F(x,y,z) als dreidimensionales Vektorfeld.
Divergenz
Die Divergenz eines Vektorfeldes ist intuitiv relativ einfach zu verstehen. Stellen Sie sich vor, dass das unten stehende Vektorfeld F die Geschwindigkeit eines Flüssigkeitsstroms angibt. Es scheint, dass die Flüssigkeit vom Ursprung nach außen explodiert.
Diese Ausdehnung des mit dem Geschwindigkeitsfeld F strömenden Fluids wird durch die Divergenz von F erfasst, die wir als div F bezeichnen. Die Divergenz des obigen Vektorfeldes ist positiv, da sich die Strömung ausdehnt.
Im Gegensatz dazu stellt das untere Vektorfeld ein Fluid dar, das strömt, so dass es komprimiert wird, wenn es sich in Richtung des Ursprungs bewegt. Da diese Fluidkompression das Gegenteil der Expansion ist, ist die Divergenz dieses Vektorfeldes negativ.
Die Divergenz ist sowohl für zweidimensionale Vektorfelder F(x,y) als auch für dreidimensionale Vektorfelder F(x,y,z) definiert. Ein dreidimensionales Vektorfeld F, das die Expansion des Fluidflusses zeigt, ist in dem untenstehenden CVT gezeigt. Auch hier können wir aufgrund der Erweiterung schlussfolgern, dass div F > 0 ist.
Aaliyah
Die Idee der Divergenz und des Curls y). In diesem Fall können wir F(x,y) das Geschwindigkeitsfeld des Fluids nennen. Allgemeiner bezeichnen wir eine Funktion wie F(x,y) als zweidimensionales Vektorfeld. Sie können mehr darüber lesen, wie wir die Fluidströmung visualisieren können, indem wir die Geschwindigkeit F(x,y) als Vektor am Punkt (x,y) auftragen. Dasselbe können wir für eine dreidimensionale Flüssigkeitsströmung mit Geschwindigkeit tun, die durch eine Funktion F : R3 → R3 dargestellt wird. In diesem Fall ist F(x,y,z) die Geschwindigkeit der Flüssigkeit am Punkt (x,y,z), und wir können sie uns als Vektor F(x,y,z) an dem Punkt ( x,y,z). Wir bezeichnen F(x,y,z) als dreidimensionales Vektorfeld.Divergenz Die Divergenz eines Vektorfeldes ist intuitiv relativ einfach zu verstehen. Stellen Sie sich vor, dass das unten stehende Vektorfeld F die Geschwindigkeit eines Flüssigkeitsstroms angibt. Es scheint, dass die Flüssigkeit vom Ursprung nach außen explodiert. Diese Ausdehnung des mit dem Geschwindigkeitsfeld F strömenden Fluids wird durch die Divergenz von F erfasst, die wir als div F bezeichnen. Die Divergenz des obigen Vektorfeldes ist positiv, da sich die Strömung ausdehnt. Im Gegensatz dazu stellt das untere Vektorfeld ein Fluid dar, das strömt, so dass es komprimiert wird, wenn es sich in Richtung des Ursprungs bewegt. Da diese Fluidkompression das Gegenteil der Expansion ist, ist die Divergenz dieses Vektorfeldes negativ. Die Divergenz ist sowohl für zweidimensionale Vektorfelder F(x,y) als auch für dreidimensionale Vektorfelder F(x,y,z) definiert.Ein dreidimensionales Vektorfeld F, das die Expansion des Fluidflusses zeigt, ist in dem untenstehenden CVT gezeigt. Auch hier können wir aufgrund der Erweiterung schlussfolgern, dass div F > 0 ist. Stellen Sie sich nun vor, dass man eine Kugel S zentriert im Ursprung platziert. Es ist klar, dass die Flüssigkeit aus der Kugel strömt. Später, wenn wir den Divergenzsatz einführen, werden wir zeigen, dass die Divergenz eines Vektorfeldes und das Ausströmen von Kugeln eng miteinander verbunden sind. Für den Moment reicht es zu sehen, dass, wenn sich eine Flüssigkeit ausdehnt (dh die Strömung hat überall innerhalb der Kugel eine positive Divergenz), die Nettoströmung aus einer Kugel positiv ist. Da das obige Vektorfeld überall eine positive Divergenz aufweist, ist der Fluss aus der Kugel auch dann positiv, wenn wir die Kugel vom Ursprung wegbewegen.Können Sie erkennen, warum das Ausfließen immer noch positiv ist, auch wenn Sie die Kugel mit den Schiebereglern bewegen? (Beachten Sie, dass die Pfeile immer länger werden, wenn man sich vom Ursprung entfernt. Da die Pfeile außerdem nach außen strahlen, tritt die Flüssigkeit immer über weniger als die Hälfte ihrer Oberfläche in die Kugel ein und verlässt die Kugel über mehr als die Hälfte ihrer Oberfläche Daher ist die Strömung aus der Kugel immer größer als die Strömung in die Kugel.) Eine letzte Bemerkung zur Divergenz: Die Divergenz ist ein Skalar. An einem bestimmten Punkt ist die Divergenz eines Vektorfeldes nur eine einzelne Zahl, die angibt, wie stark sich der Fluss an diesem Punkt ausdehnt.Möchten Sie einige Feinheiten über die Divergenz oder ein Beispiel für die Berechnung der Divergenz lesen? Die Kräuselung Die Kräuselung eines Vektorfeldes ist etwas komplizierter als die Divergenz. Es fängt die Idee ein, wie sich eine Flüssigkeit drehen kann. Stellen Sie sich vor, dass das untere Vektorfeld F die Flüssigkeitsströmung repräsentiert. Es scheint, dass Flüssigkeit etwas zirkuliert. Aus der ursprünglichen Perspektive der Figur (dh bevor Sie den Graphen mit der Maus drehen) scheint die Flüssigkeit gegen den Uhrzeigersinn zu zirkulieren. (Wenn Sie den Graphen drehen, sehen Sie möglicherweise Punkte, die entlang der Rotationsachse schweben. Diese Punkte sind Darstellungen von Vektoren der Länge Null, da die Geschwindigkeit dort Null ist.) Diese makroskopische Flüssigkeitszirkulation um Kreise (dh die Rotation, die Sie können leicht in der obigen Grafik zu sehen) ist nicht genau das, was curl misst. Aber,Es stellt sich heraus, dass dieses Vektorfeld auch eine Krümmung hat, die wir uns als „mikroskopische Zirkulation“ vorstellen könnten. Stellen Sie sich zum Testen der Kräuselung vor, dass Sie eine kleine Kugel in den Flüssigkeitsstrom eintauchen und den Mittelpunkt der Kugel an einem bestimmten Punkt so fixieren, dass die Kugel der Flüssigkeit nicht folgen kann. Obwohl Sie den Mittelpunkt der Kugel fixieren, lassen Sie die Kugel in jede Richtung um ihren Mittelpunkt rotieren. Die Drehung einer solchen Kugel ist unten dargestellt. Um die Drehung der Kugel zu sehen, müssen Sie den Mauszeiger über die Figur halten. (Wenn Sie doppelklicken, stoppt die Animation; doppelklicken Sie erneut, um die Animation neu zu starten.) Die Drehung der Kugel misst die Krümmung des Vektorfeldes F am Punkt in der Mitte der Kugel. (Die Kugel sollte eigentlich wirklich sehr klein sein, denn denken Sie daran, die Locke ist eine mikroskopische Zirkulation.) Das Vektorfeld F bestimmt sowohl die Drehrichtung der Kugel als auch die Geschwindigkeit, mit der sie sich dreht. Wir definieren die Locke von F, die als curl F bezeichnet wird, durch einen Vektor, der entlang der Rotationsachse zeigt und dessen l