Прямоугольная коробка, открытая вверху, должна иметь объем 32 кубических фута. Найти размеры коробки, требующей наименьшего количества материала для ее изготовления?

Если коробка квадратная со стороной x, площадь поверхности равна
  a = xy + 2yz + 2xz
  = x ^ 2 + 2z (2x)
  = x ^ 2 + 4x (32 / (x ^ 2))
  = x ^ 2 + 128 / x
Это будет минимизировано, когда производная по x равна нулю.
  2x - 128 / x ^ 2 = 0
  2x ^ 3 - 128 = 0
  x ^ 3 = 64
  x = 4
Квадратный прямоугольник размером 4 на 4 фута и глубиной 2 фута будет иметь минимальную площадь поверхности.

---

Его площадь будет 16 футов ^ 2 + 32 фута ^ 2 = 48 футов ^ 2.
Если размер прямоугольника составляет 4,1 фута на 3,9 фута на 2,00125 фута, площадь будет составлять ≈ 48,01 фут ^ 2. Таким образом, коробка должна быть квадратной для минимальной площади.