Какое максимальное количество раз могут пересекаться две плоскости?

Для определенности я предполагаю, что вы спрашиваете о плоскостях в евклидовом пространстве, R3 или Rn с n≥4.

Пересечение двух плоскостей в R3 может быть:

• Пустой (если плоскости параллельны и отчетливы);
• Линия («общий» случай непараллельных плоскостей); или
• Самолет (если плоскости совпадают).

Инструменты, необходимые для доказательства, обычно разрабатываются на первом
курсе линейной алгебры. Ключевыми моментами являются то, что непараллельные плоскости в R3 пересекаются; пересечение является «аффинным подпространством» (транслятом векторного подпространства); и если k≤2 обозначает размерность непустого пересечения, то плоскости покрывают аффинное подпространство размерности 4 − k≤3 = dim (R3). Поэтому пересечение двух плоскостей в R3 не может быть точкой (k = 0).

Любое из предшествующего может произойти в Rn с n≥4, поскольку R3 вложено как аффинное подпространство. Но теперь есть дополнительные возможности:

• Самолеты
  

  P1 = {(x1, x2,0,0): x1, x2 real}, P2 = {(0,0, x3, x4): x3, x4 real}

  пересекаются в начале координат и больше нигде.

• Самолеты P1 и
  

  P3 = {(0, x2,1, x4): x2, x4 вещественные}

  не параллельны (в том смысле, что ни один из них не является переводом другого), но они не пересекаются.

Плоскости P1 и P3 «частично параллельны» в том смысле, что существуют параллельные прямые ℓ1⊂P1 и ℓ3⊂P3. Это оказывается верным для любой пары непересекающихся плоскостей в R4.

В R5 есть «полностью перекосы», такие как

P4 = {(x1, x2,0,0,0)}, P5 = (0,0,1, x4, x5)}