Quel est le nombre maximum de fois que deux plans peuvent se croiser ?

Pour plus de précision, je suppose que vous posez des questions sur les plans dans l'espace euclidien, soit R3, soit Rn avec n≥4.

L'intersection de deux plans dans R3 peut être :

• Vide (si les plans sont parallèles et distincts) ;
• Une droite (le cas "générique" des plans non parallèles) ; ou alors
• Un plan (si les plans coïncident).

Les outils nécessaires à une preuve sont normalement développés dans un premier
cours d'algèbre linéaire . Les points clés sont que les plans non parallèles dans R3 se coupent ; l'intersection est un "sous-espace affine" (une translation d'un sous-espace vectoriel) ; et si k≤2 désigne la dimension d'une intersection non vide, alors les plans couvrent un sous-espace affine de dimension 4−k≤3=dim(R3). C'est pourquoi l'intersection de deux plans dans R3 ne peut pas être un point (k=0).

Tout ce qui précède peut se produire dans Rn avec n≥4, puisque R3 doit être intégré comme sous-espace affine. Mais maintenant il y a des possibilités supplémentaires :

• Les avions
  

  P1={(x1,x2,0,0):x1,x2 réel},P2={(0,0,x3,x4):x3,x4 réel}

  se croisent à l'origine, et nulle part ailleurs.

• Les avions P1 et
  

  P3={(0,x2,1,x4):x2,x4 réel}

  ne sont pas parallèles (au sens où ni l'un ni l'autre n'est une traduction de l'autre), mais ils ne se coupent pas.

Les plans P1 et P3 sont "partiellement parallèles" en ce sens qu'il existe des droites parallèles ℓ1⊂P1 et ℓ3⊂P3. Cela s'avère être vrai pour chaque paire de plans disjoints dans R4.

Dans R5, il existe des plans "totalement obliques", tels que

P4={(x1,x2,0,0,0)},P5=(0,0,1,x4,x5)}