Dans un triangle à angle droit, la médiane est tracée vers l'hypoténie à travers l'angle droit.montrer que cette médiane est la moitié de l'hypoténie ?

Supposons que votre triangle rectangle est ABC, avec C étant le sommet avec l'angle droit. Supposons que nous appelions le milieu de l'hypoténuse AB point M. Ensuite, le segment de ligne CM est celui que vous essayez de montrer est la moitié de la longueur de AB.

Un segment tiré de M perpendiculairement à BC croisera le milieu de BC. Appelez ce point P. Les triangles rectangles ainsi formés (CMP et BMP) sont congrus, donc la ligne médiane CM doit avoir la même longueur que la moitié de l'hypoténuse.

Plusieurs théorèmes doivent être invoqués pour montrer que les triangles sont congrus. Le segment MP sera parallèle à AC, donc l'angle avec l'hypoténuse (PMB) doit correspondre à l'angle à l'extrémité de la jambe parallèle (CAB). Cela signifie que les triangles ABC et MBP sont similaires. Les segments dans des triangles similaires ont le même facteur d'échelle, donc le fait que MB soit la moitié de AB signifie que PB est la moitié de CB. Cela signifie que la longueur CP est égale à la longueur PB et que les triangles MCP et MBP doivent être congrus. Ils ont deux angles identiques (MPC = MPB = 90 degrés) et les segments de chaque côté de ces angles sont les mêmes (MP = MP et PC = PB). Le théorème de Pythagore nécessite MC = MB, complétant votre preuve.