Écrivez les équations sous forme matricielle. Nous utiliserons les descripteurs « matrice de coefficients », « vecteur variable » et « vecteur constant » pour décrire les parties de cette équation de gauche à droite.
| 1 1 1| |x1| |10|
| 5 -2 1|*|x2| = | 3|
| 3 1 -4| |x3| |-1|
Calculer le déterminant de la matrice des coefficients. Pour cette matrice de coefficients, le déterminant sera
((1*-2*-4)+(1*1*3)+(1*5*1)) - ((1*1*1)+(1*5 *-4)+(1*-2*3))
= (8 + 3 + 5) - (1 - 20 - 6) = 16 - (-25) =
41
Créer une nouvelle matrice (appelez-la "c1") qui est la matrice des coefficients avec la première colonne remplacée par le vecteur constant :
|10 1 1|
| 3 -2 1| = c1
|-1 1 -4|
Trouvez le déterminant de cette matrice c1. Ce sera ...
((10*-2*-4)+(1*1*-1)+(1*3*1)) - ((10*1*1)+(1*3*- 4)+(1*-2*-1))
= (80 - 1 + 3) - (10 - 12 + 2) = 82 - 0 =
82
La solution pour x1 est le déterminant de la matrice c1 divisé par le déterminant de la matrice de coefficients.
x1 = 82/41
= 2
Pour trouver x2, on fait la même chose, en ne remplaçant que la deuxième colonne de la matrice des coefficients par le vecteur constant.
| 1 10 1|
| 5 3 1| = c2
| 3 -1 -4|
Le déterminant de c2 est
((1*3*-4)+(10*1*3)+(1*5*-1) - (1*1*-1)+(10*5*-4)+ (1*3*3))
= (-12 + 30 - 5) - (-1 - 200 + 9) = 13 + 192 =
205
La solution pour x2 est le déterminant de la matrice c2 divisé par le déterminant du coefficient matrice.
x2 = 205/41
= 5
Pour trouver x3, on fait la même chose, en ne remplaçant que la deuxième colonne de la matrice des coefficients par le vecteur constant.
| 1 1 10|
| 5 -2 3| = c3
| 3 1 -1|
Le déterminant de c3 est
((1*-2*-1)+(1*3*3)+(10*5*1)) - ((1*3*1)+(1*5*-1) +(10*-2*3))
= (2 + 9 + 50) - (3 - 5 - 60) = 61 + 62 = 123
La solution pour x3 est le déterminant de la matrice c3 divisé par le déterminant du coefficient matrice.
x3 = 123/41
= 3
Ainsi,
x1=2, x2=5, x3=3.