Reese
Suponga que su triángulo rectángulo es ABC, siendo C el vértice con el ángulo recto. Suponga que llamamos al punto medio de la hipotenusa AB punto M. Entonces, el segmento de línea CM es el que está tratando de mostrar que es la mitad de la longitud de AB.
Un segmento dibujado desde M perpendicular a BC intersecará el punto medio de BC. Llame a ese punto P. Los triángulos rectángulos así formados (CMP y BMP) son congruentes, por lo que la línea mediana CM debe tener la misma longitud que la mitad de la hipotenusa.
Se deben invocar varios teoremas para demostrar que los triángulos son congruentes. El segmento MP será paralelo a AC, por lo que el ángulo con la hipotenusa (PMB) debe coincidir con el ángulo al final del tramo paralelo (CAB). Esto significa que los triángulos ABC y MBP son similares. Los segmentos en triángulos similares tienen el mismo factor de escala, por lo que el hecho de que MB sea la mitad de AB significa que PB es la mitad de CB. Eso significa que la longitud CP es igual a la longitud PB, y los triángulos MCP y MBP deben ser congruentes. Tienen dos ángulos iguales (MPC = MPB = 90 grados), y los segmentos a cada lado de esos ángulos son iguales (MP = MP y PC = PB). El Teorema de Pitágoras requiere MC = MB, completando tu demostración.