¿Cuál es el número máximo de veces que se pueden cruzar dos planos?

Para ser más definido, asumiré que está preguntando sobre planos en el espacio euclidiano, ya sea R3 o Rn con n≥4.

La intersección de dos planos en R3 puede ser:

• Vacío (si los planos son paralelos y distintos);
• Una línea (el caso "genérico" de planos no paralelos); o
• Un plano (si los planos coinciden).

Las herramientas necesarias para una demostración se desarrollan normalmente en un primer
curso de álgebra lineal . Los puntos clave son que los planos no paralelos en R3 se cruzan; la intersección es un "subespacio afín" (una traducción de un subespacio vectorial); y si k≤2 denota la dimensión de una intersección no vacía, entonces los planos abarcan un subespacio afín de dimensión 4 − k≤3 = dim (R3). Es por eso que la intersección de dos planos en R3 no puede ser un punto (k = 0).

Cualquiera de los anteriores puede suceder en Rn con n ≥ 4, ya que R3 se incrusta como un subespacio afín. Pero ahora hay posibilidades adicionales:

• Los aviones
  

  P1 = {(x1, x2,0,0): x1, x2 real}, P2 = {(0,0, x3, x4): x3, x4 real}

  se cruzan en el origen y en ningún otro lugar.

• Los planos P1 y
  

  P3 = {(0, x2,1, x4): x2, x4 real}

  no son paralelos (en el sentido de que ninguno es una traducción del otro), pero no se cruzan.

Los planos P1 y P3 son "parcialmente paralelos" en el sentido de que existen líneas paralelas ℓ1⊂P1 y ℓ3⊂P3. Esto resulta ser cierto para cada par de planos disjuntos en R4.

En R5, existen planos "totalmente sesgados", como

P4 = {(x1, x2,0,0,0)}, P5 = (0,0,1, x4, x5)}