¿Cómo probar que los lados opuestos son paralelos en paralelogramo?

No es necesario que lo demuestres. Un paralelogramo se define de esa manera. Si no son paralelos, no es un paralelogramo.

Supongamos que en un paralelogramo, los lados tienen ABCD, por lo que lo dividiremos en 2 triángulos ABC ad ADC, por lo que en los triángulos ABC ad ADC, tenemos AB || DC, es decir, AB = DC AC = AC (común) y luego AD || BC entonces, AD = BC ahora, AB || DC y AD || BC .. por lo tanto, todos los lados son paralelos en un paralelogramo.