У пасхального кролика 100 корзин. Он кладет по одному яйцу в каждую корзину. Он нанимает 100 кроликов; Первый кролик достает все яйца. Второй кладет одно яйцо в каждую вторую корзину. Третий кладет одно яйцо в каждую третью корзину или вынимает, если оно там уже есть. 4-й кролик кладет яйцо в каждую 4-ю корзину, и это продолжается для всех 100 кроликов. Сколько корзин содержат яйца?

В 60 корзинах есть хотя бы одно яйцо.

Поскольку 1-й кролик вынимает все яйца, единственные кролики, участвующие в окончательном подсчете, - это №№ 98, 99 и 100.

98-й соответствует № 2, который оставляет по одному в каждой второй корзине, в общей сложности получается 50 корзин с яйцами.

99-й соответствует № 3, который меняет каждую третью корзину. Но рассматривая числа, кратные 3, мы видим, что последовательность бывает нечетной, четной, нечетной, четной ... Поскольку яйца есть только в четных корзинах, 99-й кролик кладет одно, вынимает одно, кладет одно, берет одно. out и т. д., эффективно ставя под угрозу опустошение корзины путем заполнения другой пустой корзины ... это будет продолжаться до корзины № 99 (поскольку корзины № 102 нет), когда он продолжит заполнять чистую сумму в 1 пустую корзину № 99.

На данный момент в 51 корзине есть яйца, включая # {(2,3,4,) (8,9,10) (14,15,16) ...}, пропуская 3 корзины после каждой последовательности из 3 чисел.

Нам нужно беспокоиться только о пустых корзинах, потому что мы выясняем, сколько корзин содержит хотя бы одно яйцо. 100-й кролик просто будет встречать пустую корзину в каждой третьей корзине (№№ 12, 24, 36). Обратите внимание, что эти числа попадают в середину каждого пустого набора из трех чисел. Например, (11,12,13) ​​(23,24,25) (35,36,37). Эта симметрия подразумевает, что узор будет продолжаться до последней корзины. Таким образом, если все числа, кратные 12, меньше 100, 100-й кролик заполнит пустую корзину. Он заполнит 8 пустых корзин до №96.

Таким образом, общее количество корзин хотя бы с одним яйцом равно = 50 + 1 + 9 = 60.