Что такое булева алгебра?

Британский математик Джордж Буль ввел алгебру двоичных чисел в 1854 году. Это называется булевой алгеброй. Булева алгебра используется при проектировании логических схем внутри компьютера. Эти схемы выполняют разные типы логических операций. Таким образом, булева алгебра также известна как логическая алгебра или алгебра переключений.

Математические выражения булевой алгебры называются булевым выражением. Булева алгебра описывает логическое выражение, используемое в логических схемах. Булевы выражения упрощаются с помощью основных теорем. Выражения, описывающие логические схемы, также упрощаются с помощью булевой алгебры.

Булева алгебра отличается от обычной алгебры по-разному. Булева алгебра имеет дело с двоичными числами (0 и 1), в то время как обычная алгебра имеет дело с действительными числами. В булевой алгебре есть только две основные операции: крест, точка и оператор дополнения. Здесь нет вычитания и деления. Обычная алгебра выполняет все арифметические операции, такие как плюс, минус, умножение, деление, вычитание и т. Д. В обычной алгебре нет операций дополнения. Распределенный закон булевой алгебры (a + (b. C) = (a + b). (A + c)) не выполняется в обычной алгебре. Булева алгебра выполняет только две основные операции, которые называются булевыми операторами.

Джордж Буль (1815–1864) был малоизвестным в свое время школьным учителем английского языка. Чтобы развлечься, Буль изобрел то, что он назвал алгеброй понятий - способ записывать понятия на формальном языке, а затем решать их, как если бы решали алгебраическое уравнение. Для Boole концепции можно рассматривать как наборы, группы идей или объектов. Набор - это группа объектов или концепций, которые имеют один или несколько общих элементов. Например, среди цветов множество красных цветов.

Буль выделил три способа идентифицировать три способа описания содержимого набора. Говоря о вещах, которые можно найти в саду, можно выделить следующее.

• Красные цветы. В этом наборе можно найти только красные цветы. Красный садовый шпатель не включен, потому что это не цветок (логический оператор AND)
• Красные объекты или цветы. В этот набор входят красный шпатель, а также красные цветы. Все, что красное, включается (логический оператор ИЛИ)
• Цветы, а не красный цвет. В этот набор входят цветы любого цвета, если они не красные (логический оператор НЕ).
Логическая алгебра является ключом к проектированию компьютерных схем, и сегодня булева алгебра используется для разработки микропроцессоров, которые решают проблемы, как и предвидел Бул, - путем выполнения логические операции.

Это простой пример использования булевой алгебры. Два из используемых операндов - это И (обозначается любым символом умножения) и ИЛИ (обозначается символом сложения «+»). Задача булевой алгебры - вычислить, может ли набор условий привести к чему-то. Есть два возможных значения переменных. «1» - истина, а «0» - ложь.

Например, если вы скажете: «Я пойду в кино, если пойдет мой лучший друг, если я смогу вырвать немного денег у мамы, И если мой отец раскошелится на своем Ford». Мы можем представить это утверждение с помощью булевой алгебры. Пусть B = лучший друг, M = мама дает деньги, F = отец ссужает Ford, и G = я пойду? Обратите внимание, что это оператор AND, что означает, что должны быть выполнены ВСЕ эти условия. Следовательно, выражение выглядит следующим образом:

G = B * M * F

Если ваш друг уезжает, отец дает машину, а мама не дает денег, B = 1, M = 0, F = 1

G = 1 * 0 * 1 = 0 = Не иду в кино (обратите внимание, что И похоже на умножение)

Если вы сказали: «Я пойду в кино, если пойдет мой лучший друг, если я смогу вырвать немного денег у мамы, ИЛИ если мой отец раскошелится на своем Форде», выражение: G = 1 + 0 + 1 = 1 = Going к фильму (примечание OR отличается от сложения). Если какое-либо условие истинно, истинно все выражение.

В абстрактной алгебре булева алгебра - это алгебраическая структура (набор элементов и операций над ними, подчиняющихся определяющим аксиомам), которая фиксирует существенные свойства как операций над множеством, так и логических операций. В частности, он имеет дело с заданными операциями пересечения, объединения, дополнения; и логические операции И, ИЛИ, НЕ.