La
méthode regula falsi est une méthode itérative de recherche de racine qui utilise une approximation linéaire de la fonction entre des valeurs fonctionnelles de signe opposé connues pour encadrer la racine. Elle est également connue sous le nom de
méthode sécante .
La première étape consiste à trouver les valeurs de la variable indépendante pour lesquelles les valeurs de la fonction ont un signe opposé.
La règle des signes de Descartes et le
théorème de la racine rationnelle peuvent être utiles à cet égard.
Pour votre fonction
f(x) = x^2 + 3x - 3,
nous savons que f(0) = -3 et f(1) = +1, donc l'une des racines se situe dans l'intervalle (0, 1).
La deuxième étape consiste à effectuer l'itération. On peut utiliser comme formule d'itération
x = x1 - (x2 - x1)/(y2 - y1)*y1
où x1 et x2 sont choisis tels que y1=f(x1) et y2=f(x2) aient des signes opposés et un d'entre eux est la valeur la plus récente de x.
On commence par (x1, y1) = (0, -3) et (x2, y2) = (1, 1). Notre prochaine itération est
x = 0 - (1-0)/(1-(-3))*(-3) = 0 - (-3/4) = 3/4
f(3/4) = 9/16 + 9/4 - 3 = -3/16
Maintenant, nous utilisons (x1, y1) = (3/4, -3/16) en remplaçant la valeur précédente du signe négatif. L'itération suivante est
x = 3/4 - (1-3/4)/(1-(-3/16))*(-3/16) = 15/19
f(15/19) = -3/361 , toujours de signe négatif. Nous remplaçons donc à nouveau (x1, y1). L'itération suivante est
x = 15/19 - (1-15/19)/(1-(-3/361))*(-3/361) = 72/91 0,791209
f(72/91) = -3/8281 ≈ - .000362275, toujours de signe négatif. En continuant, les prochaines itérations sont (x, f(x))
{0.791284, -0.0000157815},
{0.791288, -6.87455*10^-7},
{0.791288, -2.99461*10^-8}
Ainsi, l'
un des racines est x = .791288 . Notez que nous avons atteint une précision de 6 chiffres en 5 itérations sur ce problème. En divisant le polynôme par le facteur (x-.791288), on obtient (x+3.79129). Cela nous indique que
l'autre racine est x = -3,79129 .
Nous pourrions itérer en commençant par l'intervalle (0, -4) pour obtenir un résultat similaire.
Les racines réelles sont (-3±√21)/2 (-3,79129, 0,791288).