Alene
Bien qu'il soit souvent considéré comme un concepteur de dispositifs mécaniques, Archimède a également apporté des contributions au domaine des mathématiques. Plutarque a écrit : « Il a placé toute son affection et son ambition dans ces spéculations plus pures où il ne peut y avoir aucune référence aux besoins vulgaires de la vie.
Archimède a utilisé la méthode de l'épuisement pour approximer la valeur de .
Archimède a pu utiliser les infinitésimaux d'une manière similaire au calcul intégral moderne. Par la preuve par contradiction (reductio ad absurdum), il pouvait donner des réponses à des problèmes avec un degré arbitraire d'exactitude, tout en précisant les limites dans lesquelles se trouvait la réponse. Cette technique est connue sous le nom de méthode d'épuisement, et il l'a employée pour approximer la valeur de (pi). Il l'a fait en dessinant un polygone plus grand à l'extérieur d'un cercle et un polygone plus petit à l'intérieur du cercle. Au fur et à mesure que le nombre de côtés du polygone augmente, il devient une approximation plus précise d'un cercle. Lorsque les polygones avaient chacun 96 côtés, il calcula la longueur de leurs côtés et montra que la valeur de se situait entre 31⁄7 (environ 3,1429) et 310⁄71 (environ 3,1408), ce qui correspond à sa valeur réelle d'environ 3,1416.Il a également prouvé que l'aire d'un cercle était égale à multiplié par le carré du rayon du cercle. Dans Sur la sphère et le cylindre, Archimède postule que toute grandeur ajoutée à elle-même suffisamment de fois dépassera toute grandeur donnée. C'est la propriété d'Archimède des nombres réels.
Dans Mesure d'un cercle, Archimède donne la valeur de la racine carrée de 3 comprise entre 265⁄153 (environ 1,7320261) et 1351⁄780 (environ 1,7320512). La valeur réelle est d'environ 1,7320508, ce qui en fait une estimation très précise. Il a introduit ce résultat sans donner aucune explication sur la méthode utilisée pour l'obtenir. Cet aspect de l'œuvre d'Archimède fit remarquer à John Wallis qu'il était : « pour ainsi dire délibérément dissimulé les traces de son enquête comme s'il avait reproché à la postérité le secret de sa méthode d'enquête alors qu'il voulait extorquer d'eux assentiment à ses résultats.
Comme l'a prouvé Archimède, l'aire du segment parabolique de la figure du haut est égale aux 4/3 de celle du triangle inscrit de la figure du bas.
Dans La quadrature de la parabole, Archimède a prouvé que l'aire délimitée par une parabole et une ligne droite est 4⁄3 fois l'aire d'un triangle inscrit correspondant comme le montre la figure à droite. Il a exprimé la solution au problème comme une série géométrique infinie avec le rapport commun 1⁄4 :
Si le premier terme de cette série est l'aire du triangle, alors le second est la somme des aires de deux triangles dont les bases sont les deux lignes sécantes plus petites, et ainsi de suite. Cette preuve utilise une variation de la série 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + · · · dont la somme est 1⁄3.
Dans The Sand Reckoner, Archimède a entrepris de calculer le nombre de grains de sable que l'univers pourrait contenir. Ce faisant, il a contesté l'idée que le nombre de grains de sable était trop grand pour être compté. Il écrivit : « Il y en a, le Roi Gelo (Gelo II, fils de Hiero II), qui pensent que le nombre du sable est infini en multitude ; et j'entends par le sable non seulement celui qui existe autour de Syracuse et du reste de La Sicile mais aussi celle que l'on trouve dans toutes les régions habitées ou inhabitées." Pour résoudre le problème, Archimède a conçu un système de comptage basé sur la myriade. Le mot vient du grec murias, pour le nombre 10 000. Il a proposé un système de nombres utilisant des puissances d'une myriade de myriades (100 millions) et a conclu que le nombre de grains de sable requis pour remplir l'univers serait de 8 vigintillions,ou 8 × 1063.