Qu'est-ce que l'algèbre booléenne ?

Un mathématicien britannique George Boole a introduit l'algèbre des nombres binaires en 1854. C'est ce qu'on appelle l'algèbre booléenne. L'algèbre booléenne est utilisée dans la conception de circuits logiques à l'intérieur de l'ordinateur. Ces circuits effectuent différents types d'opérations logiques. Ainsi, l'algèbre booléenne est également connue sous le nom d'algèbre logique ou d'algèbre de commutation.

Les expressions mathématiques de l'algèbre booléenne sont appelées expression booléenne. L'algèbre booléenne décrit l'expression booléenne utilisée dans les circuits logiques. Les expressions booléennes sont simplifiées au moyen de théorèmes de base. Les expressions qui décrivent les circuits logiques sont également simplifiées en utilisant l'algèbre booléenne.

L'algèbre booléenne diffère de l'algèbre ordinaire de différentes manières. L'algèbre booléenne traite des nombres binaires (0 et 1) tandis que l'algèbre ordinaire traite des nombres réels. L'algèbre booléenne n'a que deux opérations de base, l'opérateur point et complément. Il n'y a pas de soustraction et de division. L'algèbre ordinaire effectue toutes les opérations arithmétiques telles que plus, moins, multiplication, division, soustraction, etc. L'algèbre ordinaire n'a pas d'opération de complément. La loi distribuée de l'algèbre booléenne (a + (b . c) = (a + b). (a + c)) n'est pas valable en algèbre ordinaire. L'algèbre booléenne n'effectue que deux opérations de base appelées opérateurs booléens.

George Boole (1815 - 1864) était un professeur d'anglais, peu connu à son époque. Pour s'amuser, Boole a inventé ce qu'il a appelé l'algèbre des concepts – une façon d'écrire des concepts dans un langage formel, puis de les résoudre comme on résoudrait une équation algébrique. Pour Boole, les concepts peuvent être considérés comme des ensembles, des groupes d'idées ou d'objets. Un ensemble est un groupe d'objets ou de concepts qui partagent un ou plusieurs éléments communs. Par exemple, parmi les fleurs, les fleurs rouges forment un ensemble.

Boole a identifié trois manières d'identifier trois manières de décrire le contenu d'un ensemble. En parlant des choses que l'on pourrait trouver dans le jardin, on peut identifier les suivantes.

• Fleurs rouges. Dans cet ensemble, on ne trouve que les fleurs qui sont rouges. La truelle de jardin rouge n'est pas incluse car ce n'est pas une fleur (opérateur booléen ET)
• Objets ou fleurs rouges. Cet ensemble comprend la truelle rouge ainsi que les fleurs rouges. Tout ce qui est rouge est inclus (opérateur booléen OU)
• Des fleurs, pas du rouge. Cet ensemble comprend des fleurs de n'importe quelle couleur, tant qu'elles ne sont pas rouges (opérateur booléen NON) L'
algèbre booléenne détient la clé de la conception de circuits informatiques et aujourd'hui l'algèbre booléenne est utilisée pour concevoir des microprocesseurs, ce qui résout les problèmes exactement comme Boole l'avait prévu - en réalisant opérations logiques.

Ceci est un exemple simple de l'utilisation de l'algèbre booléenne. Deux des opérandes utilisés sont ET (noté par n'importe quel symbole de multiplication) et OU (noté par le symbole d'addition '+'). Le but de l'algèbre booléenne est de calculer si un ensemble de conditions fera que quelque chose se produise. Il y a deux valeurs possibles pour les variables. '1' est vrai et '0' est faux.

Par exemple, si vous dites : « J'irai au cinéma si mon meilleur ami y va, si je peux demander de l'argent à maman ET si mon père achète sa Ford. » Nous pouvons représenter cette déclaration avec l'algèbre booléenne. Laisse B=meilleur ami partir, M=maman donne de l'argent, F=père prête Ford, et G=je pars ? Notez que l'instruction est AND, ce qui signifie que TOUTES ces conditions doivent être remplies. Par conséquent, l'expression est :

G = B*M*F

Si ton ami y va, le père donne la voiture, mais maman ne donne pas d'argent, B=1, M=0, F=1

G = 1*0*1 = 0 = Ne va pas au cinéma (remarquer ET c'est comme une multiplication)

Si tu avais dit : « j'irai au cinéma si mon meilleur ami y va, si je peux aller chercher un peu d'argent avec maman, OU si mon père rachète sa Ford », l'expression est G = 1+0+1 = 1 = y va au film (notez que OR est différent de l'addition) Si une condition est vraie, toute l'expression est vraie.

En algèbre abstraite, une algèbre booléenne est une structure algébrique (une collection d'éléments et d'opérations sur eux obéissant à des axiomes de définition) qui capture les propriétés essentielles des opérations ensemblistes et des opérations logiques. Plus précisément, il traite des opérations ensemblistes d'intersection, d'union, de complément ; et les opérations logiques ET, OU, NON.