La
méthode sécante de recherche de racine est une méthode itérative qui est une variation de la formule d'itération de Newton. L'itérateur de Newton est x
n+1 = x
n - f(x
n )/f'(x
n ) La méthode sécante remplace f'(x
n ) par une différence finie, donc deux valeurs de départ sont nécessaires.
f'(x
n ) ≈ (f(x
n ) - f(x
n-1 ))/(x
n - x
n-1 ) Donc l'itérateur devient
x
n+1
= x
n
- f(x
n
)* ((x
n
- x
n-1
)/(f(x
n
) - f(x
n-1
)))
Exemple Supposons que nous ayons
f(x) = x^2 - 2 , pour lequel nous voudrions trouver une racine. (Nous savons qu'une racine est √2 ≈ 1.4142.) Supposons en outre que nous voulions commencer avec x
0 =1 et x
1 =2.
x
2
= x
1
- (x
1
^2 - 2)*(x
1
- x
0
)/((x
1
^2 - 2) - (x
0
^2 - x)) (l'itérateur de la méthode sécante) x
2 = x
1 - (x
1 ^2 - 2)/(x
1+ x
0 ) (factoriser le dénominateur et annuler le facteur commun du numérateur) x
2 = (2+x
0 *x
1 )/(x
0 +x
1 ) (nous simplifions d'abord l'itérateur, donc les étapes ci-dessous ne sont pas si difficile) En substituant nos valeurs de départ, nous obtenons x
2 = (2+1*2)/(1+2) = 4/3 (≈1.3333) x
3 = (2 + (2)*(4/3)) /(2 + 4/3) = 7/5 (= 1,4000) x
3 = (2 + (4/3)*(7/5))/(4/3 + 7/5) = 58/41 (≈ 1,4146) x
4 = (2 + (7/5)*(58/41))/(7/5 + 58/41) = 816/577 (≈ 1,4142)
Dans certaines conditions, la méthode ne convergera pas, donc divers raffinements ont été suggérés par différents auteurs.