« Discutez de l'importance de la courbure et de la divergence d'un champ vectoriel. Que spécifient-ils ? »

L'idée de divergence et de curl

Champs vectoriels
On peut penser à une fonction vectorielle F : R2 → R2 comme représentant un écoulement de fluide en deux dimensions, de sorte que F(x,y) donne la vitesse d'un fluide au point (x, y). Dans ce cas, on peut appeler F(x,y) le champ de vitesse du fluide. Plus généralement, nous appelons une fonction comme F(x,y) un champ de vecteurs à deux dimensions. Vous pouvez en savoir plus sur la façon dont nous pouvons visualiser l'écoulement du fluide en traçant la vitesse F(x,y) en tant que vecteur positionné au point (x,y).

On peut faire la même chose pour un écoulement fluide tridimensionnel dont la vitesse est représentée par une fonction F : R3 → R3. Dans ce cas, F(x,y,z) est la vitesse du fluide au point (x,y,z), et on peut la visualiser comme le vecteur F(x,y,z) positionné au point ( x,y,z). Nous appelons F(x,y,z) un champ vectoriel tridimensionnel.

Divergence
La divergence d'un champ de vecteurs est relativement facile à comprendre intuitivement. Imaginez que le champ vectoriel F ci-dessous donne la vitesse d'un écoulement de fluide. Il semble que le fluide explose vers l'extérieur à partir de l'origine.

Cette expansion du fluide s'écoulant avec le champ de vitesse F est capturée par la divergence de F, que nous notons div F. La divergence du champ vectoriel ci-dessus est positive puisque l'écoulement se dilate.

En revanche, le champ vectoriel ci-dessous représente le fluide qui s'écoule de sorte qu'il se comprime lorsqu'il se déplace vers l'origine. Comme cette compression de fluide est l'opposé de la détente, la divergence de ce champ vectoriel est négative.

La divergence est définie à la fois pour les champs vectoriels bidimensionnels F(x,y) et les champs vectoriels tridimensionnels F(x,y,z). Un champ vectoriel tridimensionnel F montrant l'expansion de l'écoulement de fluide est illustré dans la CVT ci-dessous. Encore une fois, en raison de l'expansion, nous pouvons conclure que div F > 0.

L'idée de divergence et de curl Champs vectoriels On peut penser à une fonction vectorielle F : R2 → R2 comme représentant un écoulement de fluide en deux dimensions, de sorte que F(x,y) donne la vitesse d'un fluide au point (x, y). Dans ce cas, on peut appeler F(x,y) le champ de vitesse du fluide. Plus généralement, nous appelons une fonction comme F(x,y) un champ de vecteurs à deux dimensions. Vous pouvez en savoir plus sur la façon dont nous pouvons visualiser l'écoulement du fluide en traçant la vitesse F(x,y) en tant que vecteur positionné au point (x,y). On peut faire la même chose pour un écoulement fluide tridimensionnel dont la vitesse est représentée par une fonction F : R3 → R3. Dans ce cas, F(x,y,z) est la vitesse du fluide au point (x,y,z), et on peut la visualiser comme le vecteur F(x,y,z) positionné au point ( x,y,z). Nous appelons F(x,y,z) un champ vectoriel tridimensionnel.Divergence La divergence d'un champ de vecteurs est relativement facile à comprendre intuitivement. Imaginez que le champ vectoriel F ci-dessous donne la vitesse d'un écoulement de fluide. Il semble que le fluide explose vers l'extérieur à partir de l'origine. Cette expansion du fluide s'écoulant avec le champ de vitesse F est capturée par la divergence de F, que nous notons div F. La divergence du champ vectoriel ci-dessus est positive puisque l'écoulement se dilate. En revanche, le champ vectoriel ci-dessous représente le fluide qui s'écoule de sorte qu'il se comprime lorsqu'il se déplace vers l'origine. Comme cette compression de fluide est l'opposé de la détente, la divergence de ce champ vectoriel est négative. La divergence est définie à la fois pour les champs vectoriels bidimensionnels F(x,y) et les champs vectoriels tridimensionnels F(x,y,z).Un champ vectoriel tridimensionnel F montrant l'expansion de l'écoulement de fluide est illustré dans la CVT ci-dessous. Encore une fois, à cause de l'expansion, nous pouvons conclure que div F > 0. Maintenant, imaginons que l'on ait placé une sphère S centrée à l'origine. Il est clair que le fluide s'écoule de la sphère. Plus tard, lorsque nous introduirons le théorème de divergence, nous montrerons que la divergence d'un champ de vecteurs et l'écoulement hors des sphères sont étroitement liés. Pour l'instant, il suffit de voir que si un fluide se dilate (c'est-à-dire que le flux a une divergence positive partout à l'intérieur de la sphère), le flux net hors d'une sphère sera positif. Étant donné que le champ vectoriel ci-dessus a une divergence positive partout, le flux hors de la sphère sera positif même si nous éloignons la sphère de l'origine.Pouvez-vous voir pourquoi le flux sortant est toujours positif même lorsque vous déplacez la sphère à l'aide des curseurs ? (Notez que les flèches continuent de s'allonger à mesure que l'on s'éloigne de l'origine. De plus, comme les flèches rayonnent vers l'extérieur, le fluide entre toujours dans la sphère sur moins de la moitié de sa surface et sort de la sphère sur plus de la moitié de sa surface Par conséquent, le flux sortant de la sphère est toujours plus important que le flux entrant dans la sphère.) Une dernière observation sur la divergence : La divergence est un scalaire. À un point donné, la divergence d'un champ vectoriel n'est qu'un nombre unique qui représente l'ampleur de l'expansion du flux à ce point.Souhaitez-vous lire quelques subtilités sur la divergence ou un exemple de calcul de la divergence ? La boucle La boucle d'un champ vectoriel est légèrement plus compliquée que la divergence. Il capture l'idée de la façon dont un fluide peut tourner. Imaginez que le champ vectoriel F ci-dessous représente l'écoulement du fluide. Il semble que le fluide circule un peu. Du point de vue original de la figure (c'est-à-dire avant de faire pivoter le graphique avec votre souris), le fluide semble circuler dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. (Si vous faites pivoter le graphique, vous verrez peut-être des points flotter le long de l'axe de rotation. Ces points sont des représentations de vecteurs de longueur nulle, car la vitesse y est nulle.) Cette circulation macroscopique de fluide autour de cercles (c'est-à-dire la rotation que vous pouvez voir facilement dans le graphique ci-dessus) n'est pas exactement ce que mesure curl. Mais,il s'avère que ce champ vectoriel a également une boucle, que nous pourrions considérer comme une "circulation microscopique". Pour tester la courbure, imaginez que vous immergez une petite sphère dans le flux de fluide et que vous fixez le centre de la sphère à un moment donné de sorte que la sphère ne puisse pas suivre le fluide autour. Bien que vous fixiez le centre de la sphère, vous autorisez la sphère à tourner dans n'importe quelle direction autour de son point central. La rotation d'une telle sphère est illustrée ci-dessous. Pour voir la rotation de la sphère, vous devez maintenir le curseur de votre souris sur la figure. (Si vous double-cliquez, l'animation s'arrêtera ; double-cliquez à nouveau pour redémarrer l'animation.) La rotation de la sphère mesure la courbure du champ vectoriel F au point au centre de la sphère. (La sphère devrait en fait être vraiment très petite, car, rappelez-vous, la boucle est une circulation microscopique.) Le champ vectoriel F détermine à la fois dans quelle direction la sphère tourne et la vitesse à laquelle elle tourne. On définit la boucle de F, notée boucle F, par un vecteur qui pointe le long de l'axe de rotation et dont l