¿Un termostato defectuoso haría que el coche se sobrecaliente y no quisiera seguir funcionando al arrancarlo?

Si. El termostato no es como el termostato de su casa. Es una válvula cargada por resorte que controla la cantidad de refrigerante que fluye a través de su motor. Si está atascado cerrado, puede hacer que el automóvil se sobrecaliente y funcione con dificultad. Si está atascado abierto, puede hacer que el automóvil nunca alcance la temperatura de funcionamiento adecuada y vuelva a funcionar bruscamente.

La buena noticia es que es una pieza barata (unos pocos dólares) y, por lo general, es relativamente rápida de reemplazar.

Esta es una situación de causa y efecto. El calor del motor hace que el termostato cambie su lectura, si el termostato estuviera roto no afectaría el calor del motor.