Was ist Boolesche Algebra?

Der britische Mathematiker George Boole führte 1854 die Algebra von Binärzahlen ein. Dies ist als Boolesche Algebra bekannt. Boolesche Algebra wird beim Entwerfen logischer Schaltkreise im Computer verwendet. Diese Schaltungen führen verschiedene Arten von logischen Operationen aus. Daher wird die Boolesche Algebra auch als logische Algebra oder Schaltalgebra bezeichnet.

Die mathematischen Ausdrücke der Booleschen Algebra werden als Boolescher Ausdruck bezeichnet. Boolesche Algebra beschreibt den booleschen Ausdruck, der in logischen Schaltungen verwendet wird. Die Booleschen Ausdrücke werden durch grundlegende Sätze vereinfacht. Die Ausdrücke, die die logischen Schaltkreise beschreiben, werden auch durch die Verwendung der Booleschen Algebra vereinfacht.

Die Boolesche Algebra unterscheidet sich in verschiedenen Punkten von der gewöhnlichen Algebra. Die Boolesche Algebra befasst sich mit binären Zahlen (0 und 1), während die gewöhnliche Algebra mit reellen Zahlen arbeitet. Boolesche Algebra hat nur zwei grundlegende Operationen Kreuz-, Punkt- und Komplementoperator. Es gibt keine Subtraktion und Division. Die gewöhnliche Algebra führt alle arithmetischen Operationen wie Plus, Minus, Multiplikation, Division, Subtraktion usw. durch. Die gewöhnliche Algebra hat keine Komplementoperation. Das verteilte Gesetz der Booleschen Algebra (a + (b . c) = (a + b). (a + c)) gilt nicht in der gewöhnlichen Algebra. Die Boolesche Algebra führt nur zwei grundlegende Operationen aus, die als Boolesche Operatoren bezeichnet werden.

George Boole (1815 - 1864) war ein zu seiner Zeit wenig bekannter Englischlehrer. Um sich zu amüsieren, erfand Boole die sogenannte Algebra der Konzepte – eine Methode, Konzepte in einer formalen Sprache aufzuschreiben und sie dann wie eine algebraische Gleichung zu lösen. Für Boole könnten Konzepte als Mengen, Gruppen von Ideen oder Objekten angesehen werden. Ein Set ist eine Gruppe von Objekten oder Konzepten, die ein oder mehrere gemeinsame Elemente teilen. Zum Beispiel sind rote Blumen unter Blumen ein Set.

Boole hat drei Möglichkeiten identifiziert, um drei Möglichkeiten zu identifizieren, den Inhalt eines Sets zu beschreiben. Wenn man von den Dingen spricht, die man im Garten finden könnte, kann man folgendes identifizieren.

• Rote Blumen. In diesem Set findet man nur die Blumen, die rot sind. Die rote Gartenkelle ist nicht im Lieferumfang enthalten, da es sich nicht um eine Blume handelt (Boolescher Operator UND)
• Rote Objekte oder Blumen. Dieses Set enthält die rote Kelle sowie die roten Blumen. Alles, was rot ist, wird eingeschlossen (Boolescher Operator ODER)
• Blumen, nicht rot. Dieses Set beinhaltet Blume von jeder Farbe, solange sie nicht rot werden (Booleschen Operator NOT)
Boolesche Algebra hält den Schlüssel zum Computer Schaltungsdesign und heute Boolesche Algebra zu Design Mikroprozessoren verwendet, das löst Probleme wie Boole sieht voraus - durch die Durchführung logische Operationen.

Dies ist ein einfaches Beispiel für die Verwendung der Booleschen Algebra. Zwei der verwendeten Operanden sind UND (bezeichnet mit einem beliebigen Multiplikationssymbol) und ODER (bezeichnet mit einem Additionssymbol '+'). Der Sinn der Booleschen Algebra besteht darin, zu berechnen, ob eine Reihe von Bedingungen etwas bewirkt. Es gibt zwei mögliche Werte für die Variablen. '1' ist wahr und '0' ist falsch.

Zum Beispiel, wenn du sagst: "Ich gehe ins Kino, wenn mein bester Freund hingeht, wenn ich etwas Geld von meiner Mutter schnuppern kann UND wenn mein Vater seinen Ford überlässt." Wir können diese Aussage mit Boolescher Algebra darstellen. Lass B = beste Freundin gehen, M = Mama gibt Geld, F = Vater leiht Ford und G = gehe ich? Beachten Sie, dass die Anweisung AND lautet, was bedeutet, dass ALLE diese Bedingungen erfüllt sein müssen. Der Ausdruck lautet daher:

G = B*M*F

Wenn dein Freund geht, gibt Vater ein Auto, aber Mama gibt kein Geld, B=1, M=0, F=1

G = 1*0*1 = 0 = Gehe nicht ins Kino (beachte UND ist wie Multiplikation)

Wenn Du hattest gesagt: "Ich gehe ins Kino, wenn mein bester Freund geht, wenn ich etwas Geld von meiner Mutter schnappen kann, ODER wenn mein Vater seinen Ford gabelt", lautet der Ausdruck G = 1+0+1 = 1 = Gehen zum Film (beachte, dass OR ungleich der Addition ist) Wenn eine Bedingung wahr ist, ist der gesamte Ausdruck wahr.

In der abstrakten Algebra ist eine Boolesche Algebra eine algebraische Struktur (eine Sammlung von Elementen und Operationen auf ihnen, die definierenden Axiomen gehorchen), die wesentliche Eigenschaften sowohl von Mengenoperationen als auch von logischen Operationen erfasst. Insbesondere befasst es sich mit den Mengenoperationen von Schnitt, Vereinigung, Komplement; und die logischen Operationen von UND, ODER, NICHT.