Was bedeutet transzendental in der Mathematik?

In der Mathematik ist eine transzendente Zahl eine Zahl, die entweder reell oder komplex, aber nicht algebraisch ist. Mit anderen Worten, eine transzendente Zahl ist diejenige, die nicht die Antwort auf eine von Null verschiedene Polynomgleichung mit ganzzahligen Koeffizienten ist.

Die bekannteste Instanz einer transzendenten Zahl ist pi. Nur begrenzte Mengen transzendenter Zahlen werden vom Menschen identifiziert, da es sehr kompliziert ist, festzustellen, dass eine bestimmte Zahl transzendentaler Natur ist.

Das mögliche Verdienst, transzendente Zahlen im modernen Kontext zu identifizieren und zu beschreiben, geht auf Euler. Das Wort „Transzendentalen“ leitet sich von Leibniz in einer Arbeit ab, die er 1682 verfasste; Beweisen von sin (x) war keine algebraische Funktion von x (2). Das Vorhandensein transzendenter Zahlen wurde erstmals 1844 von Joseph Liouville identifiziert.

In der Mathematik ist eine transzendente Zahl eine Zahl (möglicherweise eine komplexe Zahl ), die nicht algebraisch ist – das heißt, sie ist keine Lösung einer nicht konstanten Polynomgleichung mit rationalen Koeffizienten. Die bekanntesten Beispiele für transzendente Zahlen sind π und e . Es sind nur wenige Klassen transzendenter Zahlen bekannt. Dies liegt zum Teil daran, dass es extrem schwierig sein kann zu zeigen, dass eine gegebene Zahl transzendent ist. Transzendente Zahlen sind jedoch nicht selten: Tatsächlich sind fast alle reellenund komplexe Zahlen sind transzendental, da die algebraischen Zahlen sind zählbar , aber die Sätze von reellen und komplexen Zahlen sind unzählbar . Alle reellen transzendenten Zahlen sind irrational , da alle rationalen Zahlen algebraisch sind. Das Umgekehrte gilt nicht: Nicht alle irrationalen Zahlen sind transzendent (die meisten jedoch).