Die perfekten Quadrate auf beiden Seiten von 8 sind
4 = 2 ^ 2 und
9 = 3 ^ 2. Wir wissen also, dass die Quadratwurzel von 8 zwischen 2 und 3 liegt. 8 ist 4/5 des Abstands zwischen 4 und 9, also erwarten wir, dass die Quadratwurzel von 8 etwa 4/5 des Abstands zwischen 2 und 3 beträgt. Dieser Wert ist 2 4/5 =
2,8
(8-4)/(9-4) = 4/5
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Um eine genauere Schätzung zu erhalten, teilen Sie 8 durch diese Schätzung und mitteln Sie
das Ergebnis mit dieser Schätzung. Mit ein paar Iterationen wie dieser erhalten Sie die Quadratwurzel mit 8 Dezimalstellen.
(2,8 + 8/2,8)/2 (2,8+2,8571)/2 ≈
2,8286
Diese Iterationsmethode wird seit babylonischer Zeit verwendet. Es entspricht
der Iterationsmethode von
Newtonum die Wurzel der Gleichung f(x) = x^2-8 zu finden.
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Aus der Infinitesimalrechnung wissen wir, dass sich die Quadratwurzel umgekehrt proportional zu sich selbst ändert. Die Proportionalitätskonstante ist 1/2. Bei 9 ändert sich die Quadratwurzel mit einer Geschwindigkeit von ungefähr (1/2)*(1/3) = 1/6 pro Einheit. Daher erwarten wir, dass die Quadratwurzel von 10 (1 Einheit über 9) etwa 3 + 1/6 beträgt und die Quadratwurzel von 8 (1 Einheit unter 9) etwa 3 - 1/6 = 2 5/6 beträgt. oder
2,83 .