Das
Regula-Falsi- Verfahren ist ein iteratives Verfahren zur Wurzelfindung, das eine lineare Approximation der Funktion zwischen funktionalen Werten mit entgegengesetztem Vorzeichen verwendet, von denen bekannt ist, dass sie die Wurzel einklammern. Sie wird auch als
Sekantenmethode bezeichnet .
Der erste Schritt besteht darin, Werte der unabhängigen Variablen zu finden, für die die Werte der Funktion entgegengesetzte Vorzeichen haben.
Dabei können die Descartes-Zeichenregel und der
Rational-Wurzel-Satz hilfreich sein.
Für Ihre Funktion
f(x) = x^2 + 3x - 3
wissen wir, dass f(0) = -3 und f(1) = +1, also liegt eine der Nullstellen im Intervall (0, 1).
Im zweiten Schritt wird die Iteration durchgeführt. Als Iterationsformel können wir
x = x1 - (x2 - x1)/(y2 - y1)*y1 verwenden,
wobei x1 und x2 so gewählt werden, dass y1=f(x1) und y2=f(x2) entgegengesetzte Vorzeichen haben und eins von ihnen ist der neueste Wert von x.
Wir beginnen mit (x1, y1) = (0, -3) und (x2, y2) = (1, 1). Unsere nächste Iteration ist
x = 0 - (1-0)/(1-(-3))*(-3) = 0 - (-3/4) = 3/4
f(3/4) = 9/16 + 9/4 - 3 = -3/16
Jetzt verwenden wir (x1, y1) = (3/4, -3/16) und ersetzen den vorherigen Wert des negativen Vorzeichens. Die nächste Iteration ist
x = 3/4 - (1-3/4)/(1-(-3/16))*(-3/16) = 15/19
f(15/19) = -3/361 , noch mit negativem Vorzeichen. Also ersetzen wir (x1, y1) noch einmal. Die nächste Iteration ist
x = 15/19 - (1-15/19)/(1-(-3/361))*(-3/361) = 72/91 ≈ 0,791209
f(72/91) = -3/8281 ≈ - .000362275, noch mit negativem Vorzeichen. Fortfahrend die nächsten Iterationen (x, f (x))
{0,791284, -,0000157815},
{0,791288, -6,87455 * 10 ^ -7},
{0,791288, -2,99461 * 10 ^ -8}
So
eine der Wurzeln ist x = .791288 . Beachten Sie, dass wir bei diesem Problem in 5 Iterationen eine 6-stellige Genauigkeit erreicht haben. Dividiert man das Polynom durch den Faktor (x-.791288), erhält man (x+3.79129). Dies sagt uns, dass
die andere Wurzel x = -3,79129 ist .
Wir könnten beginnend mit dem Intervall (0, -4) iterieren, um ein ähnliches Ergebnis zu erhalten.
Tatsächliche Wurzeln sind (-3 ± 21)/2 (-3,79129, 0,791288).