Die
Sekantenmethode der Wurzelfindung ist eine iterative Methode, die eine Variation der Iterationsformel von Newton ist. Newtons Iterator ist x
n+1 = x
n - f(x
n )/f'(x
n ) Die Sekantenmethode ersetzt f'(x
n ) durch eine endliche Differenz, daher sind zwei Startwerte erforderlich.
f'(x
n ) ≈ (f(x
n ) - f(x
n-1 ))/(x
n - x
n-1 ) Also wird der Iterator zu
x
n+1
= x
n
- f(x
n
)* ((x
n
- x
n-1
)/(f(x
n
) - f(x
n-1
)))
Beispiel Angenommen wir haben
f(x) = x^2 - 2 , für die wir eine Wurzel finden möchten. (Wir wissen, dass eine Wurzel √2 ≈ 1,4142 ist.) Nehmen wir weiter an, wir wollen mit x
0 =1 und x
1 =2 beginnen.
x
2
= x
1
- (x
1
^2 - 2)*(x
1
- x
0
)/((x
1
^2 - 2) - (x
0
^2 - x)) (der Sekantenmethodeniterator) x
2 = x
1 - (x
1 ^ 2 - 2)/(x
1+ x
0 ) (faktoriere den Nenner & streiche den gemeinsamen Faktor vom Zähler) x
2 = (2+x
0 *x
1 )/(x
0 +x
1 ) (wir vereinfachen zuerst den Iterator, daher sind die folgenden Schritte nicht so schwierig) Wenn wir unsere Startwerte einsetzen, erhalten wir x
2 = (2+1*2)/(1+2) = 4/3 (≈1.3333) x
3 = (2 + (2)*(4/3)) /(2 + 4/3) = 7/5 (= 1,4000) x
3 = (2 + (4/3)*(7/5))/(4/3 + 7/5) = 58/41 (≈ 1,4146) x
4 = (2 + (7/5)*(58/41))/(7/5 + 58/41) = 816/577 (≈1.4142)
Unter bestimmten Bedingungen konvergiert die Methode nicht, daher wurden verschiedene Verfeinerungen von verschiedenen Autoren vorgeschlagen.