Может ли плохой термостат привести к перегреву автомобиля и нежеланию продолжать работу после запуска?

да. Термостат не похож на термостат в вашем доме. Это подпружиненный клапан, который контролирует количество охлаждающей жидкости, протекающей через ваш двигатель. Если он застрянет в закрытом состоянии, это может привести к перегреву автомобиля и неровному движению. Если он застрял в открытом состоянии, это может привести к тому, что автомобиль никогда не разогреется до надлежащей рабочей температуры и снова будет ехать по неровной дороге.

Хорошая новость в том, что это дешевая деталь (несколько долларов), которую обычно можно быстро заменить.

Это причинно-следственная ситуация. Тепло двигателя заставляет термостат изменять свои показания, если термостат сломан, это не повлияет на нагрев двигателя.