Un mauvais thermostat provoquerait-il une surchauffe de la voiture et ne voudrait-il pas continuer à fonctionner au démarrage ?

Oui. Le thermostat n'est pas comme le thermostat de votre maison. C'est une soupape à ressort qui contrôle la quantité de liquide de refroidissement qui circule dans votre moteur. S'il est bloqué fermé, cela peut provoquer une surchauffe de la voiture et un fonctionnement irrégulier. S'il est bloqué ouvert, la voiture peut ne jamais atteindre la température de fonctionnement appropriée et redevenir irrégulière.

La bonne nouvelle est que c'est une pièce bon marché (quelques dollars) et généralement relativement rapide à remplacer.

C'est une situation de cause à effet. La chaleur du moteur fait que le thermostat change sa lecture, si le thermostat était cassé, cela n'affecterait pas la chaleur du moteur.