Comment faire la méthode de substitution ?

Résoudre le système d'équations linéaires ci-dessous en utilisant la substitution.

Supposons qu'il y ait une tirelire qui contient 57 pièces, qui ne sont que des pièces de dix sous. Le nombre total de pièces dans la banque est de 57 et la valeur totale de ces pièces est de 9,45 $. Cette information peut être représentée par le système d'équations suivant :

D + Q = 57
00,10D + 0,25Q = 9,45

Déterminez combien de pièces sont des quarts et combien sont des dimes.

Réponse
Les informations de cet exemple sont représentées par le système d'équations suivant :

D + Q = 57
0,10D + 0,25Q = 9,45

Déterminez combien de pièces sont des
quarts et combien sont des pièces de dix cents .
D = 32 (nombre de pièces de dix cents)
Q = 25 (nombre de trimestres  

Réponse détaillée
Pour résoudre ce problème en utilisant la substitution, nous devons suivre les étapes décrites dans cette section.

1. Choisissez une équation et isolez une variable ; cette équation sera considérée comme la première équation.

L'équation D + Q = 57 est une équation qui peut être facilement résolue pour D.

Nous voulons isoler D, donc nous soustrayons Q des deux côtés de l'équation.
D + Q = 57
D + Q – Q = 57 – Q
D = 57 – Q

2. Remplacez la solution de l'étape 1 dans la deuxième équation et résolvez la variable dans l'équation.

Maintenant, nous substituons la valeur de D, qui est
57 – Q, dans l'autre équation, 0,10D + 0,25Q = 9,45.

Cela nous laisse avec une équation avec une seule variable, Q. Nous trouvons une valeur numérique pour Q en isolant Q.
0,10D + 0,25Q = 9,45, et
D = 57 – Q, donc
0,10 (57 – Q) + 0,25Q = 9.45
Tout d'abord, nous devons nous débarrasser de la parenthèse en utilisant la propriété distributive. Ensuite, nous combinons les mêmes termes.
5,7 – 0,10Q + 0,25Q = 9,45
5,7 + 0,15Q = 9,45
Maintenant, soustrayez 5,7 des deux côtés de ces équations pour isoler le terme contenant la variable Q.
5,7 + 0,15Q – 5,7 = 9,45 –5,7
0,15Q = 3,75
Divisez les deux côtés de 0,15.
(0,15/0,15)Q = 3,75/0,15
Q = 25

3. En utilisant la valeur trouvée à l'étape 2, remplacez-la dans la première équation et résolvez la deuxième variable.

Nous avons trouvé que Q = 25, nous substituons donc cela dans l'équation D + Q = 57.

Lorsque nous faisons cela, nous trouvons D = 32.
D + Q = 57
D + 25 = 57
D + 25 – 25 = 57 – 25
D = 32

4. Remplacez les valeurs des deux variables dans les deux équations pour montrer qu'elles sont correctes.

Maintenant, nous devons substituer la valeur de D = 32 et Q = 25 dans nos deux équations d'origine.

D + Q = 57

32 + 25 = 57
57 = 57
0,10D + 0,25Q = 9,45

0,10 (32) + 0,25 (25) = 9,45
3,20 + 6,25 = 9,45
9,45 = 9,45


Ces valeurs fonctionnent dans les deux équations, nous avons donc la bonne réponse.

Comme son nom l'indique, dans la méthode de substitution, vous substituez essentiellement une variable avec une valeur numérique donnée. Par exemple, vous devez trouver la valeur de 2ab, où a = 2, b = 3

Dans l'exemple ci-dessus, a et b sont des variables. Selon la méthode de substitution, vous remplaceriez a et b par leurs valeurs.

2(2)(3) = 12