Soy una fracción impropia. La suma de mi numerador y denominador es 1 menos que un cuadrado perfecto. Su diferencia es 1 más que un cuadrado perfecto. Su producto es 1 menos que un cuadrado perfecto. ¿Quién soy?

Por ensayo y error, encontré varias fracciones (a / b) que coinciden con los requisitos. Creo que hay una infinidad de posibles soluciones.
{{a -> 1, b -> -1}, {a + b == 0, a - b == 2, ab == -1}},
{{a -> 5, b -> 3}, {a + b == 8, a - b == 2, ab == 15}},
{{a -> 13, b -> 11}, {a + b == 24, a - b == 2, ab == 143}},
{{a -> 25, b -> 23}, {a + b == 48, a - b == 2, ab == 575}},
{{a -> 41, b -> 39}, {a + b == 80, a - b == 2, ab == 1599}},
{{a -> 61, b -> 59}, {a + b == 120, a - b == 2, ab == 3599}},
{{a -> 80, b -> 63}, {a + b == 143, a - b == 17, ab == 5040}},
{{a -> 85, b -> 83}, {a + b == 168, a - b == 2, ab == 7055}},
{{a -> 113, b -> 111}, {a + b == 224, a - b == 2, ab == 12543}},
{{a -> 145, b -> 143}, {a + b == 288, a - b == 2, ab == 20735}},
{{a -> 181, b -> 179}, {a + b == 360, a - b == 2, ab = = 32399}},
{{a -> 221, b -> 219}, {a + b == 440, a - b == 2, ab == 48399}}

El conjunto de soluciones incluye 1 / -1, 5/3, 13/11, 25/23, 41/39, 61/59, 80/63, 85/83, 113/111, 145/143, 181/179, 221 / 219.

La suma de denominador y numerador es uno más que un cuadrado, la diferencia de denominador y numerador es un cuadrado y el producto de numerador y denominador es cinco más que un cuadrado. ¿Cuál es la fracción?