La medida de la secante CD es 7.
Llegué a este sorprendente resultado haciendo uso del teorema de Pitágoras de las siguientes formas. Defina los siguientes puntos:
S es el punto medio de la secante AB
T es el punto medio de la secante CD
P es el centro del círculo.
Se aplican las siguientes relaciones. Estos hacen uso del teorema de Pitágoras.
(PS) ^ 2 + (SB) ^ 2 = (PB) ^ 2 = (PD) ^ 2 (PB y PD son ambos iguales al radio del círculo)
(PT) ^ 2 + (TD) ^ 2 = ( PD) ^ 2
(PS) ^ 2 + (SB + 2) ^ 2 = (PX) ^ 2
(PT) ^ 2 + (TD + 3) ^ 2 = (PX) ^ 2
Podemos igualar las dos primeras ecuaciones y podemos igualar las dos últimas ecuaciones. Hacer esto da
(PS) ^ 2 + (SB) ^ 2 = (PT) ^ 2 + (TD) ^ 2
(PS) ^ 2 + (SB + 2) ^ 2 = (PT) ^ 2 + (TD + 3) ^ 2
Restar la primera de estas dos ecuaciones de la segunda da
(SB + 2) ^ 2 - (SB) ^ 2 = (TD + 3) ^ 2 - (TD) ^ 2
4 (SB) + 4 = 6 (TD) + 9 (simplificar)
4 (13/2) + 4 - 9 = 6 (TD) (sustituir el valor de SB, que es la mitad de 13; restar 9)
21 = 6 (TD) (recopilar las constantes)
7 = 2 ( TD) = CD (dividir por 3 para obtener el valor de 2 (TD) = CD)
Una búsqueda en Google de "secantes que se cruzan" produce
un teorema que cubre esto de manera muy simple.
Dice que el producto de BX y AX es igual al producto de CX y DX. El primero es 2 * 15 = 30. Para que el último producto sea 30, CX debe ser 30/3 = 10. Por tanto,
CD debe ser 10-3 = 7 .