Alene
Si bien a menudo se lo considera un diseñador de dispositivos mecánicos, Arquímedes también hizo contribuciones al campo de las matemáticas. Plutarco escribió: "Puso todo su afecto y ambición en esas especulaciones más puras donde no puede haber ninguna referencia a las necesidades vulgares de la vida".
Arquímedes utilizó el método de agotamiento para aproximar el valor de π.
Arquímedes pudo usar infinitesimales de una manera similar al cálculo integral moderno. Mediante la prueba por contradicción (reductio ad absurdum), podía dar respuestas a problemas con un grado arbitrario de precisión, al tiempo que especificaba los límites dentro de los cuales se encontraba la respuesta. Esta técnica se conoce como el método de agotamiento y la empleó para aproximar el valor de π (pi). Hizo esto dibujando un polígono más grande fuera de un círculo y un polígono más pequeño dentro del círculo. A medida que aumenta el número de lados del polígono, se convierte en una aproximación más precisa de un círculo. Cuando los polígonos tenían 96 lados cada uno, calculó las longitudes de sus lados y mostró que el valor de π estaba entre 31⁄7 (aproximadamente 3.1429) y 310⁄71 (aproximadamente 3.1408), consistente con su valor real de aproximadamente 3.1416.También demostró que el área de un círculo era igual a π multiplicado por el cuadrado del radio del círculo. En Sobre la esfera y el cilindro, Arquímedes postula que cualquier magnitud cuando se agrega a sí misma suficientes veces excederá cualquier magnitud dada. Ésta es la propiedad de Arquímedes de los números reales.
En Medición de un círculo, Arquímedes da el valor de la raíz cuadrada de 3 entre 265⁄153 (aproximadamente 1,7320261) y 1351⁄780 (aproximadamente 1,7320512). El valor real es aproximadamente 1,7320508, lo que lo convierte en una estimación muy precisa. Introdujo este resultado sin ofrecer ninguna explicación del método utilizado para obtenerlo. Este aspecto de la obra de Arquímedes hizo que John Wallis comentara que él era: "por así decirlo, haber encubierto las huellas de su investigación como si hubiera renegado a la posteridad el secreto de su método de investigación mientras deseaba extorsionar de ellos asentir a sus resultados. "
Como lo demostró Arquímedes, el área del segmento parabólico en la figura superior es igual a 4/3 del triángulo inscrito en la figura inferior.
En La cuadratura de la parábola, Arquímedes demostró que el área encerrada por una parábola y una línea recta es 4⁄3 veces el área de un triángulo inscrito correspondiente como se muestra en la figura de la derecha. Expresó la solución al problema como una serie geométrica infinita con la razón común 1⁄4:
si el primer término de esta serie es el área del triángulo, entonces el segundo es la suma de las áreas de dos triángulos cuyas bases son el dos líneas secantes más pequeñas, y así sucesivamente. Esta demostración usa una variación de la serie 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + · · · que suma 1⁄3.
En The Sand Reckoner, Arquímedes se propuso calcular la cantidad de granos de arena que podría contener el universo. Al hacerlo, desafió la noción de que el número de granos de arena era demasiado grande para ser contado. Escribió: "Hay algunos, el rey Gelo (Gelo II, hijo de Hierón II), que piensan que el número de la arena es infinito en multitud; y por arena me refiero no sólo a lo que existe sobre Siracusa y el resto de Sicilia, sino también la que se encuentra en todas las regiones, ya sean habitadas o deshabitadas ". Para resolver el problema, Arquímedes ideó un sistema de conteo basado en la miríada. La palabra proviene del griego μυριάς murias, para el número 10,000. Propuso un sistema numérico que usa poderes de una miríada de miríadas (100 millones) y concluyó que la cantidad de granos de arena necesarios para llenar el universo sería de 8 vigintillones,o 8 × 1063.