¿Cómo se prueba que 0,17 recurrente es igual a la fracción 77/99?

Tome 0.1717 ... para ser x
multiplicar por 100 en ambos lados, por
lo que tenemos,
100x = 17.1717 ...
Pero sabemos que 0.1717 = x (Mire la primera línea)
Por lo tanto, tenemos,
100x = 17 + x
100x - x = 17
99x = 17
x = 17/99 '
No puede ser 77/99.
 

La suma de la serie geométrica infinita
1 + a + a ² + a ³ + a ⁴ + ...
viene dada por
S = 1 / (1-a)
donde | a | <1.

La serie 1.010101010101 ... (repetida infinitamente) tiene a = .01, por lo que su valor es 1 / (1-.01) = 1 / .99
Esto significa .17171717 ... = .17 * (1 / .99) = .17 / .99 = 17/99