¿Cómo saber cuándo una ecuación tiene infinitas soluciones? ¿Cómo se sabe cuando una ecuación no tiene solución?

Un par de ecuaciones lineales tiene infinitas soluciones cuando las dos ecuaciones describen la misma línea. Las "dos" líneas se cruzan en todas partes.

Ejemplo
x + y = 6
2x + 2y = 12 (Los coeficientes son el doble de los de la primera ecuación. Cada solución a esta ecuación será una solución a la primera ecuación).

Un par de ecuaciones lineales no tiene solución cuando describen líneas paralelas . Las líneas paralelas no tienen punto de intersección.

Ejemplo
x + y = 6
x + y = 7 (Ninguna solución a esta ecuación también será una solución a la primera ecuación)
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Una sola ecuación puede tener infinitas soluciones. Cuando hay más variables que ecuaciones, ese será generalmente el caso (pero no siempre).
Ejemplo x + y = 6

Una sola ecuación puede no tener soluciones. Por lo general, está involucrada una función que tiene un dominio o rango que no es infinito.
Ejemplo x ² = -1 (El conjunto de valores producidos al elevar al cuadrado los números reales es siempre positivo. No existe un número real x que satisfaga esta ecuación).