¿Cómo hacer el método de sustitución?

Resuelve el sistema de ecuaciones lineales que se muestra a continuación mediante sustitución.

Suponga que hay una alcancía que contiene 57 monedas, que son solo veinticinco centavos y diez centavos. El número total de monedas en el banco es 57 y el valor total de estas monedas es $ 9,45. Esta información se puede representar mediante el siguiente sistema de ecuaciones:

D + Q = 57
00.10D + 0.25Q = 9.45

Determina cuántas monedas son cuartos y cuántas monedas de diez centavos.

Respuesta
La información de este ejemplo está representada por el siguiente sistema de ecuaciones:

D + Q = 57
0.10D + 0.25Q = 9.45

Determina cuántas monedas son
cuartos y cuántas monedas de diez centavos.
D = 32 (cantidad de monedas de diez centavos)
Q = 25   (cantidad de monedas de diez centavos)

Respuesta detallada
Para resolver este problema mediante la sustitución, debemos seguir los pasos descritos en esta sección.

1. Elija una ecuación y aísle una variable; esta ecuación se considerará la primera ecuación.

La ecuación D + Q = 57 es una que se puede resolver fácilmente para D.

Queremos aislar D, por lo que restamos Q de ambos lados de la ecuación.
D + Q = 57
D + Q - Q = 57 - Q
D = 57 - Q

2. Sustituye la solución del paso 1 en la segunda ecuación y resuelve la variable en la ecuación.

Ahora sustituimos el valor por D, que es
57 - Q, en la otra ecuación, 0.10D + 0.25Q = 9.45.

Esto nos deja con una ecuación con una sola variable, Q. Encontramos un valor numérico para Q aislando Q.
0.10D + 0.25Q = 9.45, y
D = 57 - Q, entonces
0.10 (57 - Q) + 0.25Q = 9.45
Primero debemos deshacernos del paréntesis usando la propiedad distributiva. Luego combinamos términos semejantes.
5.7 - 0.10Q + 0.25Q = 9.45
5.7 + 0.15Q = 9.45
Ahora reste 5.7 de ambos lados de esta ecuación para aislar el término que contiene la variable Q.
5.7 + 0.15Q - 5.7 = 9.45
–5.7 0.15Q = 3.75
Divida ambos lados por 0,15.
(0,15 / 0,15) Q = 3,75 / 0,15
Q = 25

3. Usando el valor encontrado en el paso 2, sustitúyalo en la primera ecuación y resuelva para la segunda variable.

Encontramos que Q = 25, así que lo sustituimos en la ecuación D + Q = 57.

Cuando hacemos esto, encontramos D = 32.
D + Q = 57
D + 25 = 57
D + 25 - 25 = 57 - 25
D = 32

4. Sustituye los valores de ambas variables en ambas ecuaciones para demostrar que son correctos.

Ahora debemos sustituir el valor de D = 32 y Q = 25 en nuestras dos ecuaciones originales.

D + Q = 57

32 + 25 = 57
57 = 57
0,10 D + 0,25 Q = 9,45

0,10 (32) + 0,25 (25) = 9,45
3,20 + 6,25 = 9,45
9,45 = 9,45


Estos valores funcionan en ambas ecuaciones, por lo que tenemos la respuesta correcta.

Como su nombre lo indica, en el método de sustitución, básicamente se sustituye una variable con un valor numérico determinado. Por ejemplo, necesita encontrar el valor de 2ab, donde a = 2, b = 3

En el ejemplo anterior, ayb son variables. De acuerdo con el método de sustitución, reemplazaría ayb por sus valores.

2 (2) (3) = 12