Wie oft können sich zwei Ebenen maximal schneiden?

Aus Gründen der Bestimmtheit gehe ich davon aus, dass Sie nach Ebenen im euklidischen Raum fragen, entweder R3 oder Rn mit n≥4.

Der Schnittpunkt zweier Ebenen im R3 kann sein:

• Leer (wenn die Ebenen parallel und verschieden sind);
• Eine Linie (der "generische" Fall von nicht parallelen Ebenen); oder
• Eine Ebene (wenn die Ebenen zusammenfallen).

Die für einen Beweis benötigten Werkzeuge werden normalerweise in einem ersten
Kurs zur Linearen Algebra entwickelt. Die wichtigsten Punkte sind, dass sich nicht parallele Ebenen in R3 schneiden; der Schnittpunkt ist ein "affiner Unterraum" (eine Übersetzung eines Vektorunterraums); und wenn k≤2 die Dimension eines nichtleeren Schnitts bezeichnet, dann spannen die Ebenen einen affinen Unterraum der Dimension 4−k≤3=dim(R3) auf. Deshalb kann der Schnittpunkt zweier Ebenen im R3 kein Punkt (k=0) sein.

Jedes der Vorhergehenden kann in Rn mit n≥4 passieren, da R3 als affiner Unterraum eingebettet ist. Aber jetzt gibt es zusätzliche Möglichkeiten:

• Die Flugzeuge
  

  P1={(x1,x2,0,0):x1,x2 real},P2={(0,0,x3,x4):x3,x4 real}

  Schnittpunkt im Ursprung und nirgendwo anders.

• Die Ebenen P1 und
  

  P3={(0,x2,1,x4):x2,x4 real}

  sind nicht parallel (in dem Sinne, dass keines eine Übersetzung des anderen ist), aber sie überschneiden sich nicht.

Die Ebenen P1 und P3 sind "teilparallel" in dem Sinne, dass es parallele Linien 1⊂P1 und ℓ3⊂P3 gibt. Dies gilt für jedes Paar disjunkter Ebenen in R4.

In R5 gibt es "total schiefe" Ebenen, wie z

P4={(x1,x2,0,0,0)},P5=(0,0,1,x4,x5)}