Was ist gedämpfte einfache harmonische Bewegung?

Einfache harmonische Bewegung ist eine Bewegungsart, die sich nach einem bestimmten Zeitintervall wiederholt. Es ist eine sich wiederholende Bewegung, bei der der Körper einem bestimmten Bewegungsmuster folgt. Bei einer einfachen harmonischen Bewegung legt das Objekt eine gewisse Distanz um eine zentrale Position zurück, die als Mittelposition bezeichnet wird. Der Punkt, den das Objekt nach Zurücklegen der maximalen Entfernung erreicht, wird als Extremposition bezeichnet. Der Abstand zwischen der maximalen Position und der mittleren Position wird als Amplitude der Bewegung bezeichnet.

Sobald diese Hin- und Herbewegung jedoch begonnen hat, wird der Körper immer die maximale oder extreme Position nicht berühren, in Wirklichkeit nimmt seine Distanz allmählich ab. Diese einfache harmonische Bewegung findet sich in mehreren Objekten, einige sehr schöne Beispiele sind die Bewegung eines Pendels und Bewegungen eines an eine Feder gebundenen Objekts. Es wird davon ausgegangen, dass, wenn ein Objekt, dessen eines Ende an einen festen Punkt gebunden ist, aus seiner Position verschoben wird, es eine einfache harmonische Bewegung ausführen kann, und es muss immer etwas Arbeit geleistet werden, um das Objekt anfänglich zu verschieben, die dann verwendet wird, um das Objekt in Bewegung zu halten.

Eine gedämpfte Bewegung hingegen ist eine Bewegung, bei der versucht wird, die Amplitude des Schwingkörpers zu reduzieren. Eine gedämpfte einfache harmonische Bewegung ist also die Bewegung in einem Objekt, das an einen festen Punkt gebunden ist, aus seiner Position verschoben wird und es beginnt, einfachere harmonische Bewegungen auszuführen. Sobald die Bewegung durch eine externe Quelle oder durch die Vererbung des Systems gestartet wird, wird die Amplitude der Bewegung gedämpft.

Eine einfache harmonische Bewegung ist eine periodische Bewegung (wiederholt sich in spezifischer Weise in Standardintervallen, dh sinusförmig) mit konstanter Amplitude. Beispiel ist die Bewegung eines einfachen harmonischen Oszillators. Dämpfung ist ein Effekt, der verwendet wird, um die Schwingungsamplitude eines schwingungsfähigen Systems zu reduzieren. Eine gedämpfte einfache harmonische Bewegung ist also eine einfache harmonische Bewegung mit einigen Effekten, um die Amplitude ihrer Wellen zu reduzieren. Diese Art von Bewegung erfüllt die Differentialgleichung zweiter Ordnung. In einer realen physikalischen Umgebung ist eine Schwingung nicht so perfekt. Kräfte wie Reibung und Luftwiderstand wirken auf das System und verringern die Geschwindigkeit und Amplitude der Schwingung, bis das System Ruhe oder Gleichgewicht erreicht. Die Dämpfungskraft ist die hauptsächliche dissipative Kraft, die immer entgegen der Geschwindigkeitsrichtung wirkt, was zu einer Verringerung der Amplitude führt.Wenn wir die Gleichung der gedämpften harmonischen Bewegung lösen, haben wir drei Dämpfungsbedingungen, dh Überdämpfung, kritische Dämpfung und Unterdämpfung. Durch das Lösen ihrer linearen Gleichungen werden verschiedene Ergebnisse gezogen. Ein Beispiel für einen gedämpften harmonischen Oszillator ist eine mit einer Feder befestigte Masse. Die an der Feder befestigte ungedämpfte Masse bewegt sich mit konstanter Amplitude und Frequenz hin und her, während in der realen Welt eine gedämpfte harmonische Schwingung der an der Feder befestigten Masse existiert, dh sie zeigt eine Schwingung, aber ihre Schwingung klingt im Laufe der Zeit aufgrund von Dämpfungskräften wie Luftwiderstand, Oberflächenreibung ab ; diese Kräfte neigen dazu, die Geschwindigkeit der Masse zu verringern und damit ihre Amplitude zu verringern.Ein Beispiel für einen gedämpften harmonischen Oszillator ist eine mit einer Feder befestigte Masse. Die an der Feder befestigte ungedämpfte Masse bewegt sich mit konstanter Amplitude und Frequenz hin und her, während in der realen Welt eine gedämpfte harmonische Schwingung der an der Feder befestigten Masse existiert, dh sie zeigt Schwingungen, aber ihre Schwingung klingt im Laufe der Zeit aufgrund von Dämpfungskräften wie Luftwiderstand, Oberflächenreibung ab ; diese Kräfte neigen dazu, die Geschwindigkeit der Masse zu verringern und damit ihre Amplitude zu verringern.Ein Beispiel für einen gedämpften harmonischen Oszillator ist eine mit einer Feder befestigte Masse. Die an der Feder befestigte ungedämpfte Masse bewegt sich mit konstanter Amplitude und Frequenz hin und her, während in der realen Welt eine gedämpfte harmonische Schwingung der an der Feder befestigten Masse existiert, dh sie zeigt Schwingungen, aber ihre Schwingung klingt im Laufe der Zeit aufgrund von Dämpfungskräften wie Luftwiderstand, Oberflächenreibung ab ; diese Kräfte neigen dazu, die Geschwindigkeit der Masse zu verringern und damit ihre Amplitude zu verringern.diese Kräfte neigen dazu, die Geschwindigkeit der Masse zu verringern und damit ihre Amplitude zu verringern.diese Kräfte neigen dazu, die Geschwindigkeit der Masse zu verringern und damit ihre Amplitude zu verringern.

Die Informations- und Kommunikationsrevolution hat die Bereiche Mathematik und Technik in vollem Umfang genutzt. Die Anwendungen kümmern sich um die komplexen Vorgänge in der Computer- und anderen Industrien. Das Studium der Dynamik, die auf einen bestimmten Anwendungsbereich anwendbar ist, beinhaltet das Codieren und Decodieren vieler direkter Formeln und Gleichungen und Variationen der Formeln, je nach der spezifischen Branche. Die gedämpfte einfache harmonische Bewegung ist eine ingenieurspezifische Anwendung und die Berechnung wird aus einer speziell konstruierten Gleichung mit drei Variablen abgeleitet: w, x und Beta.

Addiert man zur bestehenden Gleichung für einfache harmonische Bewegungen eine Dämpfungskraft proportional zu ' ' und wendet die erste Ableitung von ' ' nach der Zeit an, so erhält man die gedämpfte einfache harmonische Bewegungsgleichung:
[ x+ ßx+w2x=0 ]

Hier ist ' ß' die Dämpfungskonstante. Diese Gleichung hilft bei der Berechnung der Stromflussanalyse in einer elektronischen CLR-Schaltung. Eine CLR-Schaltung enthält einen Kondensator, eine Induktivität und einen Widerstand. Die Kurve, die sich durch die Anwendung der beiden gedämpften harmonischen Oszillatoren rechtwinklig zueinander ergibt, wird in der Technik als 'Harmonograph' bezeichnet und hilft, die Bedienung weiter zu einer 'Lissajous'-Kurve zu vereinfachen, wenn ß1 =ß2=0.

Die Bewegung, bei der die Beschleunigung im Körper direkt proportional zur Verschiebung ist und ihre Richtung zur mittleren Position weist, wird als einfache harmonische Bewegung bezeichnet. Wenn eine Reibungskraft vorhanden ist, wird die Bewegung eines harmonischen Oszillators durch die Reibung gedämpft und wird als gedämpfte harmonische Bewegung bezeichnet. Die Widerstands- oder Reibungskraft in einem gedämpften Oszillator wird als Dämpfungskraft bezeichnet. Die Nettokraft auf den Schwingkörper ist die Summe aus Rückstellkraft '-kx' und Dämpfungskraft '-bv'. Nettokraft

= Rückstellkraft - Dämpfungskraft

ma= -kx - bv

ma + bv + kx = 0

a + bv/ m + kx/ m = 0

as, v= dx/ dt und a= dv/dt => a= d ² x/dt ²

d ² x/dt ²+ b/m dx/dt + k/mx =0

setzen b/m = 2B und k/m = w ²

d ² x/dt ² + 2B dx/dt + w ² x = 0 ist die erforderliche Gleichung für gedämpftes einfaches harmonische Bewegung.

Darüber hinaus ist B eine Konstante und wird als Beta bezeichnet und w ist ebenfalls eine Konstante und wird als Omega bezeichnet.

Wenn eine Feder um eine Strecke x von ihrer Gleichgewichtslage gedehnt wird,
übt sie nach dem Hookeschen Gesetz eine Rückstellkraft F = - kx aus, wobei die Konstante k
Federkonstante genannt wird. Wenn die Feder an einer Masse m befestigt ist, dann gilt nach dem zweiten Newtonschen Gesetz −kx = mx .. ,
wobei x .. die zweite Ableitung von x nach der Zeit ist. Diese Differentialgleichung hat
die bekannte Lösung für oszillierende (einfache harmonische) Bewegung:

X = Acos( ωt + φ), (1)
wobei A und φ durch die Anfangsbedingungen bestimmte Konstanten sind und = k / m die
Kreisfrequenz ist. Die Periode ist T = 2 mk . Durch Ableitung von Gl.(1) bestimmen wir die
Geschwindigkeit
v = −A ωsin(ωt + φ),
die umgeschrieben werden kann als
v = Aωweil(ωt + π 2
+ φ). (2)
Durch
erneutes Ableiten erhalten wir die Beschleunigung a = −Aω2 wegen ( ωt + φ),
die sich in
a = Aω2 wegen ( ωt + π+ φ) umschreiben lässt . (3)
Aus der Beschleunigung ermitteln wir die Kraft,
F = mAω2, weil ( t + φ+ ). (4)
Aus diesen vier Gleichungen sehen wir, dass die Geschwindigkeit der Phasenverschiebung um
π/2 vorauseilt, während die Kraft und die Beschleunigung um vorauseilen.
Bei tatsächlich schwingenden Massen ist die Bewegung häufig nicht ganz so einfach, da
Reibungskräfte die Bewegung verzögern.