Um mit dem einfacheren Teil der Frage zu beginnen, nein, dies wird in einer Gleichung nicht passieren, denn was auch immer passiert, beide Seiten der Gleichung bleiben gleich und das Gleichheitszeichen wird ein Gleichheitszeichen sein, egal wie es umgedreht wird.
Warum ändert sich das Ungleichheitszeichen? Sie ändert sich, weil die Werte, oder genauer deren Vorzeichen, in der Ungleichung geändert werden. Aus diesem Grund muss auch das Ungleichheitszeichen geändert werden.
Wenn alle Werte negativ werden, was bedeutet, dass Negative entweder umgedreht oder aufgehoben werden, wenn die Seiten negativ waren und das Ungleichheitszeichen unverändert bleibt, wird die Lösung insgesamt ein anderer Zahlenbereich sein, da die Ungleichung geändert wird.
Die für dieses Beispiel verwendete Ungleichung ist -3a≥-6. Was passiert, wenn das Ungleichungszeichen nach der Multiplikation der Ungleichung mit -1 nicht umgedreht wird? Die neue Gleichheit würde so aussehen: 3a≥6.
Theoretisch sollte a a≥2 sein. Dies kann getestet werden, indem man es in die ursprüngliche Ungleichung zurücksetzt, etwa so: -3x2≥-6. Das funktioniert, aber was passiert, wenn eine größere Zahl verwendet wird? Mit einer 3 zum Beispiel wird klar, dass dies nicht richtig sein kann: -3x3≥-6.
Wenn das Ungleichungszeichen umgedreht worden wäre, würde die neue Ungleichung so aussehen: 3a≤6, also a≤2. Dies ist immer noch richtig, daher besteht der nächste Schritt darin, diese Ungleichung mit einer Zahl kleiner als 2 auszuprobieren, also: -3x1≥-6. Das funktioniert eindeutig.
Das gleiche Verfahren gilt, wenn die ursprüngliche Ungleichung positiv ist und ins Negative übergeht. Bei gemischten Vorzeichen ist darauf zu achten, dass das Ungleichungszeichen immer auf das gleiche Vorzeichen zeigt. In dieser Ungleichung -3a≤6 zeigt das Vorzeichen beispielsweise der positiven Seite. Multiplizieren mit -1 ergibt 3a≥-6. Das Ungleichheitszeichen steht immer noch der positiven Seite gegenüber.