Sollte der Vermieter den Teppich ersetzen?

Es gibt kein Gesetz als solches. Es kommt aber auch auf die Vertragsbedingungen an. Wenn der Vermieter eine solche Klausel erwähnt hat, wird er sie ersetzen oder reinigen. Sonst kannst du nichts dagegen tun.

Als Sie beim Einzug einen sauberen Teppich hatten, nein. Normalerweise würde man beim Einzug um einen sauberen Teppich bitten, wenn man einmal dort wohnte, gab es keine Verpflichtung zum Wechseln.

Sie können Ihren Vermieter bitten, den Teppich zu reinigen und/oder auszutauschen. Erklären Sie die Situation mit dem Asthma und fragen Sie ihn, ob es ihm möglich ist, den Teppich entweder mit Dampf zu reinigen oder zu ersetzen. Wenn er auch nicht bereit ist, können Sie es mit seiner Erlaubnis selbst reinigen lassen (ich würde es schriftlich bekommen, da Sie nie wissen, ob ein Schaden entsteht).