Ein Trichter hat eine kreisförmige Oberseite mit einem Durchmesser von 20 cm und einer Höhe von 30 cm. Wenn die Flüssigkeitstiefe im Trichter 12 cm beträgt, tropft die Flüssigkeit mit einer Geschwindigkeit von 0,2 cm^3/s aus dem Trichter. Mit welcher Geschwindigkeit nimmt die Tiefe der Flüssigkeit im Trichter ab?

Der Durchmesser der Flüssigkeitsoberfläche ist eine Funktion der Flüssigkeitshöhe. Es ist
  d = (20 cm)/(30 cm)*h = (2/3)h
Dann ist das Volumen
  v = (1/3)*(π/4)d^2*h
  = π/ 12*(2/3h)^2*h
  = π/27*h^3
Die Ableitung dieses Ausdrucks ist
  dv/dt = (π/27)*(3h^2)*dh/dt = π/9*h ^2*dh/dt
Wenn wir nach dh/dt auflösen, erhalten wir
  (dv/dt)*9/(π*h^2) = dh/dt
Mit deinen Zahlen haben wir
  (0,2 cm^3/s)*9/ (π*(12 cm)^2) = dh/dt
  (1,8/(144π)) cm/s = dh/dt
  dh/dt ≈ 0,00398 cm/s

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Vielleicht ist der Schlüssel zu erkennen, dass der Durchmesser eine Funktion der Höhe ist. Es ist nicht konstant. Das Volumen ist also proportional zum Höhenkubus. Der Würfel führt einen Faktor von 3 in die Ableitung ein.