Алена
Хотя его часто считают разработчиком механических устройств, Архимед также внес вклад в область математики. Плутарх писал: «Он вложил всю свою привязанность и честолюбие в те более чистые рассуждения, в которых не может быть упоминания о вульгарных жизненных потребностях».
Архимед использовал метод исчерпания, чтобы приблизить значение π.
Архимед умел использовать бесконечно малые величины аналогично современному интегральному исчислению. Посредством доказательства от противного (reductio ad absurdum) он мог давать ответы на проблемы с произвольной степенью точности, указывая при этом пределы, в которых находился ответ. Этот метод известен как метод исчерпания, и он использовал его для приближения значения π (пи). Он сделал это, нарисовав большой многоугольник вне круга и меньший многоугольник внутри круга. По мере увеличения количества сторон многоугольника он становится более точным приближением круга. Когда у многоугольников было по 96 сторон, он рассчитал длины их сторон и показал, что значение π находится между 31⁄7 (приблизительно 3,1429) и 310⁄71 (приблизительно 3,1408), что согласуется с его фактическим значением приблизительно 3,1416.Он также доказал, что площадь круга равна π, умноженному на квадрат радиуса круга. В «О сфере и цилиндре» Архимед постулирует, что любая величина, прибавленная к себе в достаточное количество раз, превысит любую заданную величину. Это архимедово свойство действительных чисел.
В «Измерении круга» Архимед дает значение квадратного корня из 3, лежащее между 265⁄153 (приблизительно 1,7320261) и 1351⁄780 (приблизительно 1,7320512). Фактическое значение составляет приблизительно 1,7320508, что делает эту оценку очень точной. Он представил этот результат, не предлагая никаких объяснений метода, использованного для его получения. Этот аспект работы Архимеда заставил Джона Уоллиса заметить, что он был: «как бы с поставленной целью скрыть следы своего расследования, как если бы он завидовал потомкам секрета своего метода исследования, в то время как он хотел вымогать их согласие на его результаты ".
Как доказал Архимед, площадь параболического сегмента на верхнем рисунке равна 4/3 площади вписанного треугольника на нижнем рисунке.
В «Квадратуре параболы» Архимед доказал, что площадь, ограниченная параболой и прямой линией, в 4⁄3 раза больше площади соответствующего вписанного треугольника, как показано на рисунке справа. Он выразил решение проблемы в виде бесконечного геометрического ряда со знаменателем 1⁄4:
если первое слагаемое в этом ряду представляет собой площадь треугольника, то второе представляет собой сумму площадей двух треугольников, основания которых равны две секущие меньшего размера и т. д. В этом доказательстве используется вариант ряда 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + · · ·, который в сумме составляет 1⁄3.
В The Sand Reckoner Архимед намеревался вычислить количество песчинок, которое может содержать вселенная. При этом он оспорил мнение о том, что количество песчинок слишком велико, чтобы его можно было сосчитать. Он писал: «Есть некоторые, царь Гело (Гело II, сын Иеро II), которые думают, что число песка бесконечно во множестве; и я имею в виду под песком не только то, что существует вокруг Сиракуз и остальной части города». Сицилия, но также и то, что есть во всех регионах, будь то населенные или необитаемые ». Чтобы решить эту проблему, Архимед разработал систему счета, основанную на бесчисленном множестве. Слово происходит от греческого μυριάς murias, что означает число 10 000. Он предложил систему счисления, использующую мириады мириадов (100 миллионов), и пришел к выводу, что количество песчинок, необходимое для заполнения вселенной, составит 8 вигинтиллионов,или 8 × 1063.