Запишите уравнения в матричной форме. Мы будем использовать дескрипторы «матрица коэффициентов», «вектор переменных» и «постоянный вектор» для описания частей этого уравнения слева направо.
| 1 1 1 | | x1 | | 10 |
| 5 -2 1 | * | x2 | = | 3 |
| 3 1 -4 | | x3 | | -1 |
Вычислите определитель матрицы коэффициентов. Для этой матрицы коэффициентов определитель будет
((1 * -2 * -4) + (1 * 1 * 3) + (1 * 5 * 1)) - ((1 * 1 * 1) + (1 * 5 * -4) + (1 * -2 * 3))
= (8 + 3 + 5) - (1-20-6) = 16 - (-25) =
41
Создайте новую матрицу (назовите ее «c1») которая представляет собой матрицу коэффициентов, в которой первый столбец заменен постоянным вектором:
| 10 1 1 |
| 3 -2 1 | = c1
| -1 1 -4 |
Найдите определитель этой матрицы c1. Это будет ...
((10 * -2 * -4) + (1 * 1 * -1) + (1 * 3 * 1)) - ((10 * 1 * 1) + (1 * 3 * - 4) + (1 * -2 * -1))
= (80-1 + 3) - (10-12 + 2) = 82-0 =
82
Решение для x1 - это определитель матрицы c1, деленный на определитель матрицы коэффициентов.
x1 = 82/41
= 2
Чтобы найти x2, мы делаем то же самое, только заменяя второй столбец матрицы коэффициентов постоянным вектором.
| 1 10 1 |
| 5 3 1 | = c2
| 3 -1 -4 |
Определитель c2 равен
((1 * 3 * -4) + (10 * 1 * 3) + (1 * 5 * -1) - (1 * 1 * -1) + (10 * 5 * -4) + (1 * 3 * 3))
= (-12 + 30-5) - (-1-200 + 9) = 13 + 192 =
205
Решение для x2 - это определитель матрицы c2, деленный на определитель коэффициента матрица.
x2 = 205/41
= 5
Чтобы найти x3, мы делаем то же самое, только заменяя второй столбец матрицы коэффициентов постоянным вектором.
| 1 1 10 |
| 5 -2 3 | = c3
| 3 1 -1 |
Определитель c3 равен
((1 * -2 * -1) + (1 * 3 * 3) + (10 * 5 * 1)) - ((1 * 3 * 1) + (1 * 5 * -1) + (10 * -2 * 3))
= (2 + 9 + 50) - (3-5-60) = 61 + 62 = 123
Решение для x3 - это определитель матрицы c3, деленный на определитель коэффициента матрица.
x3 = 123/41
= 3
Таким образом,
x1 = 2, x2 = 5, x3 = 3.