¿Qué es una clase con un constructor privado llamado en Java?

Los constructores por defecto son públicos.
Pueden declararse como privados en el caso de las clases singleton y también si la clase contiene todas las constantes. Las clases singleton son aquellas para las que solo se puede hacer un objeto.
En este caso, cuando intentas hacer el segundo objeto, muestra un error.

Generalmente, al hacer un constructor privado, no se puede instanciar la clase creando objetos. Las siguientes clases generalmente tendrán constructores privados, son clases abstractas y clases singleton.

Los constructores privados se pueden usar de dos maneras, otros constructores pueden llamar al constructor privado.
o también se pueden llamar constructores privados desde métodos estáticos.

Para llamar a un método estático en una clase, no necesita una instancia.
Entonces, un método estático dentro de la clase puede crear una instancia de la clase (el método estático está dentro de la clase, por lo que también tendrá acceso al constructor privado).

No puede haber constructores privados ya que no sirven de nada. Los constructores se invocan al crear objetos, si la construcción es privada, no se pueden crear objetos de la clase desde el exterior y, por lo tanto, no puede haber constructores privados.