¿Puede explicar la tercera ley de Kepler?

Por medio de sus dos primeras leyes de movimiento planetario, Kepler había derivado fórmulas para la forma y la velocidad de la órbita de un planeta. Quedaba la respuesta a otra pregunta desconcertante: ¿qué relación hay entre la distancia de un planeta al sol y el tiempo que se tarda en completar un circuito? Sabía que los planetas que están más cerca del sol viajan a mayor velocidad que los que están más lejos. Después de casi 10 años de trabajo, descubrió una fórmula que expresaba esta relación. Esto llegó a conocerse como su Tercera Ley. Esta ley establece que los cuadrados de los períodos de revoluciones de dos planetas cualesquiera están en la misma proporción que los cubos de sus distancias promedio al sol.

Un ejemplo de esta relación se puede ver en el caso del planeta Júpiter. Júpiter está aproximadamente 5,2 veces más lejos del sol que la Tierra. En consecuencia, a Júpiter le toma alrededor de 11,8 años terrestres para hacer una órbita alrededor del sol (llamado su "período" en la tabla a continuación), que es un año de Júpiter. Demostremos la exactitud de la Tercera Ley aplicándola en el caso del planeta Júpiter.

Cuadrar un número es multiplicarlo por sí mismo; Cubrir un número al cubo es multiplicar este resultado nuevamente por el número original. Entonces, volviendo al ejemplo de Júpiter, ¿qué encontramos? Si cuadramos el período (el período de órbita de Júpiter alrededor del sol es de 11,8 años terrestres), obtenemos 11,8 por 11,8, lo que equivale a casi 140. Ahora, si reducimos al cubo la distancia, obtenemos 5,2 por 5,2 por 5,2, que también equivale aproximadamente a 140. Esta igualdad es válida para cada uno de los planetas. Puedes probarlo fácilmente por ti mismo realizando el mismo cálculo para el resto de los planetas.

Usando funciones de producción, podemos entender una de las leyes más famosas de toda la economía, la ley de rendimientos decrecientes:
La ley de rendimientos decrecientes sostiene que obtendremos cada vez menos producción extra cuando agregamos dosis adicionales de un insumo mientras se mantienen otros insumos reparado. En otras palabras, el producto marginal de cada unidad de insumo disminuirá a medida que aumenta la cantidad de ese insumo, manteniendo constantes todos los demás insumos.
La ley de los rendimientos decrecientes expresa una relación muy básica. A medida que se agrega más de un insumo como la mano de obra a una cantidad fija de tierra, maquinaria y otros insumos, la mano de obra tiene cada vez menos de los otros factores con los que trabajar. La tierra se vuelve más poblada, la maquinaria trabaja en exceso y el producto marginal del trabajo disminuye.
Ponernos en las botas de un agricultor que realiza un experimento agrícola puede concretar la ley de los rendimientos decrecientes. Dada una cantidad fija de tierra y otros insumos, suponga que no usamos ningún insumo de trabajo. Con una mano de obra cero, no hay producción de maíz. Por tanto, habrá cero productos cuando la mano de obra sea cero. Los rendimientos decrecientes son un factor clave para explicar por qué muchos países de Asia son tan pobres.