Können Sie das dritte Keplersche Gesetz erklären?

Mit seinen ersten beiden Planetenbewegungsgesetzen hatte Kepler Formeln für die Form und Geschwindigkeit der Umlaufbahn eines Planeten abgeleitet. Die Antwort auf eine andere verwirrende Frage blieb: Welche Beziehung besteht zwischen der Entfernung eines Planeten von der Sonne und der Zeit, die es braucht, um einen Umlauf zu schließen? Er wusste, dass Planeten, die der Sonne näher sind, sich schneller bewegen als weiter entfernte. Nach fast 10 Jahren Arbeit entdeckte er eine Formel, die diese Beziehung ausdrückte. Dies wurde als sein drittes Gesetz bekannt. Dieses Gesetz besagt, dass die Quadrate der Umlaufperioden von zwei beliebigen Planeten im gleichen Verhältnis stehen wie die Kuben ihrer durchschnittlichen Entfernungen von der Sonne.

Ein Beispiel für diese Beziehung ist der Planet Jupiter. Jupiter ist etwa 5,2 mal so weit von der Sonne entfernt wie die Erde. Dementsprechend braucht Jupiter etwa 11,8 Erdenjahre, um eine Umlaufbahn um die Sonne zu machen (in der untenstehenden Tabelle als "Periode" bezeichnet), was einem Jupiterjahr entspricht. Lassen Sie uns die Richtigkeit des dritten Gesetzes beweisen, indem wir es auf den Planeten Jupiter anwenden.

Eine Zahl zu quadrieren bedeutet, sie mit sich selbst zu multiplizieren; eine Zahl zu würfeln bedeutet, dieses Ergebnis wieder mit der ursprünglichen Zahl zu multiplizieren. Zurück zum Beispiel des Jupiter, was finden wir? Wenn wir die Periode quadrieren (die Umlaufzeit des Jupiters um die Sonne beträgt 11,8 Erdenjahre), erhalten wir 11,8 mal 11,8, was fast 140 entspricht. Wenn wir nun die Entfernung verwürfeln, erhalten wir 5,2 mal 5,2 mal 5,2, was ebenfalls ungefähr 140. Diese Gleichheit gilt für jeden der Planeten. Sie können dies leicht selbst beweisen, indem Sie die gleiche Rechnung für den Rest der Planeten durchführen.

Mithilfe von Produktionsfunktionen können wir eines der berühmtesten Gesetze der gesamten Ökonomie verstehen, das Gesetz des abnehmenden Ertrags:
Das Gesetz des abnehmenden Ertrags besagt, dass wir immer weniger zusätzlichen Output erhalten, wenn wir zusätzliche Dosen eines Inputs hinzufügen, während wir andere Inputs halten Fest. Mit anderen Worten, das Grenzprodukt jeder Eingabeeinheit sinkt mit zunehmender Menge dieser Eingabe, wobei alle anderen Eingaben konstant gehalten werden.
Das Gesetz des abnehmenden Ertrags drückt einen sehr grundlegenden Zusammenhang aus. Da mehr Input wie Arbeit zu einer festen Menge von Land, Maschinen und anderen Inputs hinzugefügt wird, muss die Arbeit mit immer weniger anderen Faktoren arbeiten. Das Land wird dichter, die Maschinerie überlastet und das Grenzprodukt der Arbeit sinkt.
Sich in die Lage eines Landwirts zu versetzen, der ein landwirtschaftliches Experiment durchführt, kann das Gesetz des abnehmenden Ertrags konkretisieren. Angenommen, wir verwenden bei einer festen Menge an Land und anderen Inputs überhaupt keine Arbeitsinputs. Bei null Arbeitseinsatz gibt es keine Maisproduktion. Daher gibt es null Produkte, wenn die Arbeit null ist. Sinkende Renditen sind ein wesentlicher Faktor, der erklärt, warum viele Länder in Asien so arm sind.